Теория Пуанкаре – Бендиксона

Тео́рия Пуанкаре́ – Бе́ндиксона, раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем, относящийся к предельному (при ${\displaystyle {\ce {t->\pm \infty }}}$) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений ${\displaystyle 1}$-го порядка:

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}\left(x_{1},x_{2}\right),\quad i=1,2}$ (*)

(условия, обеспечивающие существование и единственность решений, подразумеваются выполненными). В наиболее важном случае, когда в ограниченной части плоскости система имеет только конечное число положений равновесия, основной результат А. Пуанкаре (Пуанкаре. 1947^[1]) и И. Бендиксона (Бендиксон. 1941) состоит в том, что любая ограниченная полутраектория (положительная или отрицательная) либо стремится к положению равновесия, либо навивается (наподобие спирали) на предельный цикл, либо аналогичным образом навивается на замкнутую сепаратрису или «сепаратрисный контур», состоящий из нескольких сепаратрис, «соединяющих» некоторые положения равновесия, либо сама является положением равновесия или замкнутой траекторией. Наиболее часто используемое следствие: если полутраектория не выходит из некоторой компактной области, не содержащей положения равновесия, то в этой области имеется замкнутая траектория. Для тех случаев, когда положений равновесия бесконечное число или когда полутраектория не является ограниченной, тоже имеется достаточно полное, хотя и более сложное описание (Немыцкий. 1949^[2]). Наконец, можно рассматривать непрерывный поток на плоскости, не предполагая, что он задаётся дифференциальными уравнениями ${\displaystyle (*)}$, ибо при этом всё ещё возможно использовать основные «технические» предпосылки теории Пуанкаре – Бендиксона: теорему Жордана и отображение последования для локальных сечений, гомеоморфных отрезку (существование их доказано в Whitney. 1933^[3]; Немыцкий. 1948).

К теории Пуанкаре – Бендиксона примыкают: открытая А. Пуанкаре связь между вращением векторного поля на границе области и индексами положений равновесия внутри неё (см. в статье Индекс особой точки); результаты И. Бендиксона и Л. Брауэра о возможных типах поведения траекторий возле положений равновесия (Бендиксон. 1941; Brouwer. 1909; Brouwer. Vol. 12. 1910; Brouwer. Vol. 13. 1910; Немыцкий. 1949^[4]; Хартман. 1970^[5]); результаты, уточняющие роль «особых траекторий» – положений равновесия, предельных циклов и сепаратрис – в «качественной картине», возникающей на фазовой плоскости (Качественная теория динамических систем. 1966^[6]).

Хотя общая теория даёт исчерпывающую информацию о вариантах поведения фазовых траекторий, возможных для систем ${\displaystyle (*)}$, это не отвечает на вопрос, какой вариант реализуется для той или иной конкретной системы. Решению подобных вопросов (обычно не для отдельной системы, а для некоторого класса систем) посвящено большое количество работ, в которых, как правило, существенно используется общая теория, но которые никоим образом не сводятся к её автоматическому применению.