Теорема Кнезера

Теоре́ма Кне́зера об одномерных слоениях без особенностей на замкнутых поверхностях рода нуль, теорема, устанавливающая свойства такого слоения в зависимости от наличия или отсутствия у него замкнутых слоёв и описывающая поведение незамкнутых слоёв в областях, ограничиваемых замкнутыми слоями. Теорема Кнезера принадлежит X. Кнезеру [говорившему не о слоениях, а о «регулярных семействах кривых на поверхности» (Kneser. 1924^[1]); модернизированное изложение основных аспектов теоремы Кнезера см. в Reinhart. 1959^[2]; Aepply. 1963^[3]]. Чаще всего теорема Кнезера упоминается в связи с траекториями потока без положений равновесия на торе или поверхности Клейна: эти траектории образуют слоение рассматриваемого в теореме Кнезера типа.

Одномерное слоение (без особенностей) на поверхности – это целиком заполняющее последнюю семейство непересекающихся кривых («слоёв»), причём у каждой точки имеется такая координатная окрестность ${\displaystyle U}$, что в терминах соответствующих локальных координат ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ слоение локально выглядит как семейство прямых ${\displaystyle x_{2}=\mathrm {const} }$ (точнее, такое уравнение имеют связные компоненты пересечений слоёв с ${\displaystyle U}$). Слоение называется ориентируемым, если можно так определить некоторое «положительное» направление на каждом его слое (ориентировать слои), чтобы для различных слоёв эти направления были согласованы – при непрерывном переходе от слоя к слою положительное направление нигде не менялось скачком. Ориентируемы те и только те слоения, которые состоят из траекторий некоторых потоков без положений равновесия.

Пусть на поверхности ${\displaystyle M}$ задано поле направлений (поле линейных элементов) – каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ сопоставлено одномерное подпространство ${\displaystyle l(x)}$ касательной плоскости ${\displaystyle T_{x}M}$ в этой точке [если ${\displaystyle M}$ лежит в евклидовом пространстве, то ${\displaystyle l(x)}$ представляется прямой, касающейся ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$, см. рис. 1]. Если ${\displaystyle l(x)}$ гладко зависит от ${\displaystyle x}$, то интегральные кривые этого поля направлений образуют одномерное слоение, которое может и не быть ориентируемым.

Основное содержание теоремы Кнезера относится к тому случаю, когда у слоения имеются как замкнутые, так и незамкнутые слои. Утверждается, что последние заполняют области, ограниченные первыми, причём эти области могут быть трёх типов – см. рис. 2, где подразумевается, что у каждого прямоугольника а, б и в надо верхнюю сторону склеить с нижней, причём ${\displaystyle A}$ склеивается с ${\displaystyle A'}$, а ${\displaystyle B}$ – с ${\displaystyle B'}$; например, из а при этом получается «кольцо Кнезера», см. рис. 3. Если на поверхности имеется только один замкнутый слой, то у прямоугольника надо дополнительно склеить ещё левую и правую стороны.

Незамкнутый слой, лежащий в одной из этих областей, при неограниченном продолжении в одну сторону навивается на замкнутый слой, ограничивающий данную область, или на один из двух ограничивающих её замкнутых слоёв. При продолжении в другую сторону незамкнутый слой навивается, соответственно, на тот же замкнутый слой (но с другой стороны) или на второй из упомянутых замкнутых слоёв.

Областей типа а и б может быть лишь конечное число, причём неориентируемая область типа б возможна только на поверхности Клейна и только для неориентируемого слоения, областей типа в – конечное или счётное число.

X. Кнезер доказал также, что тот случай, когда у слоения нет замкнутых слоёв, возможен только для ориентируемого слоения на торе, и что в этом случае имеется замкнутая линия ${\displaystyle L}$, трансверсальная к слоению и пересекающая все слои. (В общем случае, когда не предполагается, что слои гладкие и что слоение задаётся некоторым полем направлений, трансверсальность понимается в том смысле, что у каждой точки линии ${\displaystyle L}$ имеется координатная окрестность, в которой слои задаются уравнением ${\displaystyle x_{2}=\mathrm {const} }$, a ${\displaystyle L}$ – уравнением ${\displaystyle x_{1}=0}$.) См. об этом также в ст. Дифференциальные уравнения на торе.