Инволютивное распределение

Инволюти́вное распределе́ние, геометрическая интерпретация вполне интегрируемой дифференциальной системы на ${\displaystyle n}$-мерном дифференцируемом многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ класса ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle k\geq 3}$. ${\displaystyle p}$-мерным распределением (или дифференциальной системой размерности ${\displaystyle p}$) класса ${\displaystyle C^{r}}$, ${\displaystyle 1\leq r<k}$, на ${\displaystyle M^{n}}$называется функция, относящая каждой точке ${\displaystyle x\in M^{n}}$ ${\displaystyle p}$-мерное линейное подпространство ${\displaystyle D(x)}$ касательного пространства ${\displaystyle T_{x}(M^{n})}$, так что ${\displaystyle x}$ имеет окрестность ${\displaystyle U}$ с ${\displaystyle p}$ такими ${\displaystyle C^{r}}$-векторными полями ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{p}}$ на ней, что векторы ${\displaystyle X_{1}(y),\dots ,X_{p}(y)}$ образуют базис пространства ${\displaystyle D(y)}$ для каждой точки ${\displaystyle y\in U}$. Распределение ${\displaystyle D}$ называется инволютивным, если для всех точек ${\displaystyle y\in U}$

${\displaystyle [X_{i},X_{j}](y)\in D(y),\quad 1\leq i,j\leq p}$.

Это же условие формулируется и в терминах дифференциальных форм. Распределение ${\displaystyle D}$ характеризуется тем, что

${\displaystyle D(y)=\{X\in T_{y}(M^{n}):\omega ^{\alpha }(y)(X)=0\},\quad p<\alpha \leq n}$,

где ${\displaystyle \omega ^{p+1},\dots ,\omega ^{n}}$ суть ${\displaystyle 1}$-формы класса ${\displaystyle C^{r}}$, линейно независимые в каждой точке ${\displaystyle x\in U}$, т. е. ${\displaystyle D}$ локально эквивалентно системе дифференциальных уравнений ${\displaystyle \omega ^{\alpha }=0}$. Тогда ${\displaystyle D}$ является инволютивным распределением, если на ${\displaystyle U}$ существуют ${\displaystyle 1}$-формы ${\displaystyle \omega _{\beta }^{\alpha }}$ такие, что

${\displaystyle d\omega ^{\alpha }=\sum _{\beta =p+1}^{n}\omega ^{\beta }\wedge \omega _{\beta }^{\alpha }}$,

т. е. внешние дифференциалы ${\displaystyle d\omega ^{\alpha }}$ принадлежат идеалу, порождённому формами ${\displaystyle \omega ^{\beta }}$.</k<></math>

Распределение ${\displaystyle D}$ класса ${\displaystyle C^{r}}$ на ${\displaystyle M^{n}}$ инволютивно тогда и только тогда, когда оно (как дифференциальная система) есть интегрируемая система (теорема Фробениуса).