Подмногообразие

Подмногообра́зие, 1) в узком смысле слова топологическое ${\displaystyle n}$–мерное подмногообразие топологического ${\displaystyle m}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ – такое подмножество ${\displaystyle N\subset M}$, которое в индуцированной топологии является ${\displaystyle n}$-мерным многообразием. Число ${\displaystyle m-n}$ называется коразмерностью подмногообразия ${\displaystyle N}$. Наиболее часто встречаются локально плоские подмногообразия, для которых тождественное вложение ${\displaystyle i:N\to M}$ является локально плоским вложением. Подмножество ${\displaystyle N\subset M}$ является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки ${\displaystyle p\in N}$ имеются такая окрестность ${\displaystyle U}$ этой точки в ${\displaystyle M}$ и такие локальные координаты ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ в ней, что в терминах этих координат ${\displaystyle N\cap U}$ описывается уравнениями ${\displaystyle x_{n+1}=\ldots =x_{m}=0}$.

2) В широком смысле слова топологическое ${\displaystyle n}$-мерное подмногообразие топологического ${\displaystyle m}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ – такое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие ${\displaystyle N}$, которое как множество точек является подмножеством ${\displaystyle M}$ (иными словами, ${\displaystyle N}$ – это подмножество ${\displaystyle M}$, снабжённое структурой ${\displaystyle n}$-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение ${\displaystyle i:N\to M}$ является погружением. Подмногообразие в узком смысле является подмногообразием в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда ${\displaystyle i}$ есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки ${\displaystyle p\in N}$ имеется сколь угодно малые окрестности в ${\displaystyle N}$, являющиеся пересечениями с ${\displaystyle N}$ некоторых окрестностей в ${\displaystyle M}$).

3) Кусочно-линейное, аналитическое или дифференцируемое (класса ${\displaystyle C^{l}}$, ${\displaystyle l\leqslant \infty }$) подмногообразие кусочно-линейного, аналитического или дифференцируемого (класса ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle l\leqslant k\leqslant \infty }$) многообразия ${\displaystyle M}$ в широком смысле (соответственно узком) – это подмножество ${\displaystyle N\subset M}$, которое снабжено структурой кусочно-линейного, аналитического или дифференцируемого (класса ${\displaystyle C^{l}}$) многообразия, причём ${\displaystyle i}$ является кусочно-линейным, аналитическим или дифференцируемым (класса ${\displaystyle C^{l}}$) погружением (соответственно вложением). Определение дифференцируемого подмногообразия класса ${\displaystyle C^{l}}$ годится и при ${\displaystyle l=0}$, совпадая в этом случае с определением топологического подмногообразия. Обычно подразумевается, что ${\displaystyle l\geqslant 1}$.

В аналитическом и дифференцируемом случаях подмногообразие всегда является локально плоским. Поэтому определение аналитического (дифференцируемого) подмногообразия в узком смысле обычно с самого начала формулируется как аналитический (дифференцируемый) вариант данного в 1) определении локально плоского подмногообразия с помощью локальных координат, добавляя к сказанному там условию, чтобы локальные координаты ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ были аналитическими (дифференцируемыми класса ${\displaystyle C^{l}}$). Если подмножество ${\displaystyle N}$ удовлетворяет последнему определению, то оно естественным образом снабжается структурой аналитического (дифференцируемого класса ${\displaystyle C^{l}}$) многообразия и ${\displaystyle i}$ оказывается вложением в смысле соответствующей структуры.

Кусочно-линейное подмногообразие в узком смысле локально представляется как подполиэдр объемлющего многообразия, кусочно-линейно эквивалентный симплексу. Оно не всегда является локально плоским (хотя это так при ${\displaystyle m-n>2}$); кроме того, для таких подмногообразий свойство быть локально плоским в топологическом смысле не совпадает (по крайней мере непосредственно) со свойством быть локально плоским в кусочно-линейном смысле.

4) Простой модификацией этих определений получаются определения: подмногообразия с краем; подмногообразия многообразия с краем [при этом в ряде топологических вопросов оказывается целесообразным ограничить возможные расположения подмногообразия у края объемлющего многообразия, (см. Рохлин. 1977^[1])]; подмногообразия, различные компоненты которого могут иметь различную размерность; подмногообразия бесконечномерного многообразия (Ленг. 1967^[2]); комплексно аналитического подмногообразия комплексно аналитического многообразия.

Понятие подмногообразия в узком смысле является непосредственным обобщением понятия кривой и поверхности. Подмногообразия в широком смысле используются в теории групп Ли [где это понятие и было впервые введено (Шевалле. 1948^[3])], дифференциальной геометрии (Стернберг. 1970^[4]) и теории слоений.

5) В алгебраической геометрии подмногообразие – замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зариского. Этим формализуется идея, что подмногообразие задаётся алгебраическими уравнениями. Помимо перехода от ${\displaystyle \mathbb {R} }$ к другим полям, изменение понятия «подмногообразие» в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.