Замкнутое множество

За́мкнутое мно́жество в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, множество ${\displaystyle A\subset X}$, содержащее все свои предельные точки, т. е. удовлетворяющее условию ${\displaystyle A^{\mathrm {d} }\subset A}$ (здесь ${\displaystyle A^{\mathrm {d} }}$ обозначает производное множество множества ${\displaystyle A}$). Равносильное определение: множество ${\displaystyle A}$ замкнуто, если оно совпадает с множеством своих точек прикосновения, т. е. со своим замыканием: ${\displaystyle A={\overline {A}}}$.

Примеры замкнутых множеств на прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$: отрезок ${\displaystyle [a,b]}$, множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$, множество ${\displaystyle \left\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}}$; на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: прямоугольник

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=\{(x,y):a\leqslant x\leqslant b,\ c\leqslant y\leqslant d\}}$,

круг (вместе с границей) радиуса ${\displaystyle r>0}$ с центром в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle \left\{(x,y):{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leqslant r\right\}}$,

график произвольной непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Gamma (f)=\{(x,f(x)):x\in \mathbb {R} \}}$.

Множество ${\displaystyle A}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$ в том и только в том случае, если его дополнение ${\displaystyle X\setminus A}$ открыто.

Пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ и всё пространство ${\displaystyle X}$ замкнуты; объединение конечного числа и пересечение произвольного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством – эти свойства семейства замкнутых множеств могут быть положены в основу определения топологического пространства в качестве аксиом (см. в статье Топологическое пространство). Один из типичных примеров определения топологии в терминах замкнутых множеств – топология Зариского.

Специальными видами замкнутых множеств являются совершенные множества, канонические замкнутые множества, функционально замкнутые множества, замкнутые Gδ-множества.

Подмножество метрического пространства (и, более общо, топологического пространства с первой аксиомой счётности) замкнуто в том и только в том случае, если вместе с каждой сходящейся последовательностью своих точек (необязательно различных) оно содержит предел этой последовательности. В учебной литературе данное свойство иногда принимается в качестве определения замкнутого множества в метрическом пространстве, вместе с тем в неметризуемых топологических пространствах оно может и не иметь места (ср. понятие секвенциального пространства).

Определение множества, замкнутого (нем. abgeschlossene) в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (как множества, содержащего своё производное множество), ввёл Г. Кантор (Cantor. 1884. S. 470; рус. пер.: Кантор. 1985.^[1] С. 122).

Термин «замкнутое» по отношению к множествам широко применяется в математике и в ином, алгебраическом, смысле, а именно когда говорят о замкнутости подмножества ${\displaystyle A\subset X}$ относительно некоторых операций на ${\displaystyle X}$ (одной или нескольких; операции могут быть не всюду определены). Под этим понимается следующее: вместе с каждым набором аргументов операции множество содержит и соответствующий данному набору результат этой операции. Примеры использования такой терминологии:

• множество натуральных чисел, как подмножество множества целых чисел, замкнуто относительно операции сложения, но незамкнуто относительно операции вычитания;
• подгруппа ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ может быть определена как непустое подмножество ${\displaystyle H\subset G}$, замкнутое относительно операции произведения и операции перехода к обратному элементу;
• множество всех распределений хи-квадрат на прямой замкнуто относительно операции свёртки.