Система Фабера – Шаудера

Систе́ма Фа́бера – Ша́удера, система функций ${\displaystyle \{\varphi _{n}(t)\}_{n=1}^{\infty }}$, построенная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ с помощью любой счётной всюду плотной на этом отрезке последовательности точек ${\displaystyle \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, ${\displaystyle w_{1}=a}$, ${\displaystyle w_{2}=b}$, следующим образом. Полагают ${\displaystyle \varphi _{1}(t)\equiv 1}$ на ${\displaystyle [a,b]}$. Функция ${\displaystyle \varphi _{2}(t)}$ линейна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и такая, что ${\displaystyle \varphi _{2}({\text{а}})=0}$, ${\displaystyle \varphi _{2}(b)=1}$. Если же ${\displaystyle n>2}$, то отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ делится на ${\displaystyle n-2}$ части точками ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1}}$ и выбирается отрезок ${\displaystyle [w_{i},w_{k}]}$, ${\displaystyle w_{i}<w_{k}}$, содержащий точку ${\displaystyle w_{n}}$. Затем полагают ${\displaystyle \varphi _{n}(w_{i})=\varphi _{n}(w_{k})=0}$, ${\displaystyle \varphi _{n}(w_{n})=1}$ и продолжают функцию ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$ линейно на отрезки ${\displaystyle [w_{i},w_{n}]}$ и ${\displaystyle [w_{n},w_{k}]}$. Вне интервала ${\displaystyle (w_{i},w_{k})}$ функцию ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$ полагают равной нулю.

В случае когда ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle b=1}$, a ${\displaystyle \left\{w_{n}\right\}}$ – последовательность всех двоично рациональных точек отрезка ${\displaystyle [0,1]}$, занумерованных естественным образом (т. е. в порядке

${\displaystyle 0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},\ldots ,{\frac {1}{2^{m}}},{\frac {3}{2^{m}}},\ldots ,{\frac {2^{m}-1}{2^{m}}},\ldots )}$,

система ${\displaystyle \left\{\varphi _{n}(t)\right\}}$ [её обозначение ${\displaystyle \left\{F_{n}(t)\right\}}$] впервые встречается в работе Г. Фабера (^[1]). Он рассматривал её (с другой нормировкой) как систему неопределённых интегралов от системы Хаара, дополненную функцией, тождественно равной единице. В общем случае построение системы ${\displaystyle \left\{\varphi _{n}(t)\right\}}$ осуществлено Ю. П. Шаудером (^[2]), поэтому система Фабера – Шаудера называется также системой Шаудера.

Система ${\displaystyle \left\{\varphi _{n}(t)\right\}}$ является базисом в пространстве ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$ всех непрерывных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle f(t)}$ с нормой ${\displaystyle \|f\|={\underset {a\leqslant t\leqslant b}{\max }}\,|f(t)|}$ (см. Faber. 1910, Sсhauder. 1928 или ^[3]).

Если к системе Фабера ${\displaystyle \left\{F_{n}(t)\right\}}$ применить процесс ортогонализации Шмидта на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, то получится система Франклина.

Система Фабера – Шаудера – первый пример базиса в пространстве непрерывных функций.