Равномерная сходимость

Равноме́рная сходи́мость последовательности функций (отображений), свойство последовательности ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow Y}$, где ${\displaystyle X}$ – произвольное множество, ${\displaystyle Y}$ – метрическое пространство, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, к функции (отображению) ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$, означающее, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle n_{\varepsilon }}$, что для всех номеров ${\displaystyle n>n_{\varepsilon }}$ и всех точек ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \rho \left(f(x),f_{n}(x)\right)<\varepsilon }$.

Это условие равносильно тому, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in E}\rho \left(f_{n}(x),f(x)\right)=0}$.

Чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ равномерно сходилась на множестве ${\displaystyle X}$ к функции ${\displaystyle f}$, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность ${\displaystyle \left\{\alpha _{n}\right\}}$, что ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}=0}$, и существовал такой номер ${\displaystyle n_{0}}$, что для всех ${\displaystyle n>n_{0}}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполнялось неравенство

${\displaystyle \rho \left(f_{n}(x),f(x)\right)\leqslant \alpha _{n}}$.

Пример. Последовательность ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, равномерно сходится на любом отрезке ${\displaystyle [0,a]}$, ${\displaystyle 0<a<1}$, и не сходится равномерно на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$.

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости последовательности функций без использования понятия предельной функции даёт критерий Коши равномерной сходимости.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. Если ${\displaystyle Y}$ – линейное нормированное пространство и последовательности отображений ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow Y}$ и ${\displaystyle g_{n}:X\rightarrow Y}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, равномерно сходятся на множестве ${\displaystyle X}$, то при любых ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$ последовательность ${\displaystyle \left\{\lambda f_{n}+\mu g_{n}\right\}}$ также равномерно сходится на ${\displaystyle X}$.

2. Если ${\displaystyle Y}$ – линейное нормированное кольцо, последовательность отображений ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow Y}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ – ограниченное отображение, то последовательность ${\displaystyle \left\{gf_{n}\right\}}$ также равномерно сходится на ${\displaystyle X}$.

3. Если ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство, ${\displaystyle Y}$ – метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ отображений ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow Y}$ равномерно на множестве ${\displaystyle X}$ сходится к отображению ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$, то это отображение также непрерывно в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то есть

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\left(x_{0}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\lim _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)}$.

Условие равномерной сходимости последовательности ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ на ${\displaystyle X}$ является в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество ${\displaystyle X}$ – компакт, ${\displaystyle Y}$ – множество действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, последовательность непрерывных функций ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow \mathbb {R} }$ во всех точках ${\displaystyle x\in X}$ одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$,

то для того, чтобы функция ${\displaystyle f}$ была непрерывной на множестве ${\displaystyle X}$, необходимо и достаточно, чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.

4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, равномерно на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ сходится к функции ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого ${\displaystyle x\in [a,b]}$ имеет место равенство

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{x}f_{n}(t)\,dt=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(t)\,dt,}$ (*)

и сходимость последовательности ${\displaystyle \left\{\int _{a}^{x}f_{n}(t)\,dt\right\}}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ к функции ${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ равномерна. Формула (*) обобщается на случай интеграла Стилтьеса. Если же последовательность интегрируемых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle f_{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нём функции ${\displaystyle f}$, то формула (*) может не иметь места.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, сходится в некоторой точке ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$, а последовательность их производных ${\displaystyle \left\{{\frac {df_{n}}{dx}}\right\}}$ равномерно сходится на ${\displaystyle [a,b]}$, то последовательность ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ также равномерно сходится на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {df_{n}(x)}{dx}},\quad a\leqslant x\leqslant b}$.

Пусть ${\displaystyle X}$ – произвольное множество, а ${\displaystyle Y}$ – метрическое пространство. Семейство функций (отображений) ${\displaystyle f_{\alpha }:X\rightarrow Y}$, ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – топологическое пространство, называется равномерно сходящимся при ${\displaystyle \alpha \rightarrow \alpha _{0}\in {\mathfrak {A}}}$ к функции (отображению) ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U\left(\alpha _{0}\right)}$ точки ${\displaystyle \alpha _{0}}$, что для всех ${\displaystyle \alpha \in U\left(\alpha _{0}\right)}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \rho \left(f(x),f_{\alpha }(x)\right)<\varepsilon }$.

Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам равномерной сходимости последовательностей функций.

Понятие равномерной сходимости отображений обобщается на случай, когда ${\displaystyle Y}$ – равномерное пространство, в частности, когда ${\displaystyle Y}$ – топологическая группа.