Всюду плотное множество

Всю́ду пло́тное мно́жество, подмножество топологического пространства, пересекающееся с любым непустым открытым подмножеством этого пространства. Множество ${\displaystyle A}$ всюду плотно в пространстве ${\displaystyle X}$ в том и только том случае, если ${\displaystyle {\overline {A}}=X}$, т. е. если его замыкание совпадает со всем пространством. Вместо термина «всюду плотное множество» часто употребляется термин «плотное множество».

Множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел являются всюду плотными подмножествами вещественной прямой со стандартной топологией.

В пространстве непрерывных вещественных функций, определённых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, с топологией равномерной сходимости (т. е. топологией, порождённой стандартной нормой функции на отрезке) всюду плотно множество полиномиальных функций (многочленов) – в этом состоит одна из возможных формулировок классической теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных вещественных функций многочленами (теорема Стоуна – Вейерштрасса).

Подмножество ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle X}$, содержащее некоторое всюду плотное в ${\displaystyle X}$ подмножество, само всюду плотно в ${\displaystyle X}$. Если множество ${\displaystyle B}$ всюду плотно в ${\displaystyle X}$, а множество ${\displaystyle A}$ всюду плотно в ${\displaystyle B}$ (где ${\displaystyle B}$ рассматривается как топологическое подпространство пространства ${\displaystyle X}$), то ${\displaystyle A}$ всюду плотно в ${\displaystyle X}$, т. е. отношение «быть всюду плотным подмножеством» транзитивно. Если ${\displaystyle A}$ всюду плотно в ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – сюръективное непрерывное отображение, то множество ${\displaystyle f(A)}$ всюду плотно в ${\displaystyle Y}$.

Если ${\displaystyle h\colon X\to Y}$ – гомеоморфное вложение топологических пространств, причём множество ${\displaystyle h(X)}$ всюду плотно в ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle Y}$ часто называют расширением пространства ${\displaystyle X}$ (отождествляя при этом гомеоморфные пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle h(X)}$, т. е. считая, что ${\displaystyle X\subset Y}$). Изучение расширений топологических пространств с определёнными свойствами – важная область топологии и функционального анализа.