Пространственная модель Дарбина

Простра́нственная моде́ль Да́рбина (англ. spatial Durbin model, SDM), пространственно-эконометрическая модель, которая учитывает пространственные лаги как зависимой, так и независимых (объясняющих) переменных. Позволяет наиболее полно учесть пространственную зависимость между рассматриваемыми объектами (чаще всего странами или регионами). Функциональная форма этой модели, оцениваемой по наблюдениям за ${\displaystyle n}$ объектами (например, регионами), имеет вид:

${\displaystyle Y=X\beta +\rho WY+WX\Theta +\epsilon }$,

где ${\displaystyle Y}$ – зависимая переменная, ${\displaystyle {\text{Х}}}$ – матрица объясняющих переменных ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$, ${\displaystyle WY}$ – пространственный лаг зависимой переменной, ${\displaystyle WX}$ – матрица пространственных лагов объясняющих переменных, ${\displaystyle \epsilon }$ – вектор ошибок, ${\displaystyle \beta ,\rho ,\theta }$ – оцениваемые параметры.

При выявлении пространственной зависимости для исследуемых показателей (с помощью индексов Морана, Гири, Гетиса – Орда или локальных показателей пространственной зависимости) рекомендуется для начала оценить пространственную модель Дарбина (LeSage. 2009). Поскольку пространственный лаг ${\displaystyle WY}$ является эндогенной переменной, оценка параметров пространственной модели Дарбина проводится с помощью метода максимального правдоподобия или обобщённого метода моментов. После оценки модели рекомендуется проверить гипотезы об ограничениях на параметры:

• ${\displaystyle H_{0}:\Theta =0}$ (если эта гипотеза не отвергается, то модель сводится к модели пространственной авторегрессии SAR);
• ${\displaystyle H_{0}:\Theta =\rho =0}$ (если эта гипотеза не отвергается, то модель сводится к линейной регрессионной модели, нет необходимости учитывать пространственную зависимость);
• ${\displaystyle H_{0}:\Theta +\rho \beta =0}$ (если эта гипотеза не отвергается, то модель сводится к модели с пространственной зависимостью в ошибках SEM).

Если значимы какие-нибудь из параметров ${\displaystyle \theta }$, то говорят о локальных (идущих от соседей) спилловерах (эффектах перелива). Если же значим коэффициент пространственной автокорреляции ${\displaystyle \rho }$, то имеют место глобальные спилловеры, отражающие влияние на регион не только непосредственных соседей, но и соседей второго, третьего и т. д. порядка.

Для интерпретации влияния каждой объясняющей переменной ${\displaystyle X_{m},\ m=1,\ldots ,k}$ вычисляется матрица предельных эффектов размера ${\displaystyle (n\times k)}$:

${\displaystyle {\frac {\partial E(Y)}{\partial X_{m}}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial E(Y_{1})}{\partial X_{m1}}}\,\ldots \,{\frac {\partial E(Y_{1})}{\partial X_{mn}}}\\{\begin{array}{c}\,\vdots \,\,\,\,\ddots \,\,\,\,\,\vdots \,\\{\frac {\partial E(Y_{n})}{\partial X_{m1}}}\,\cdots \,{\frac {\partial E(Y_{n})}{\partial X_{mn}}}\end{array}}\end{array}}\right)=(I-pW)^{-1}(\beta _{m}I+W\theta _{m})==(I-pW)^{-1}\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\beta _{m}\,\,\,\,w_{12}\theta _{m}\,\,\cdots \,\,w_{1n}\theta _{m}\\{\begin{array}{c}w_{21}\theta _{m}\,\,\,\,\beta _{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots \\\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ddots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}}\end{array}}\\w_{n1}\theta _{m}\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta _{m}\end{array}}\right)=S(X_{m}),\,m=1,...,k}$.

Диагональные элементы этой матрицы называются прямыми предельными эффектами; элемент ${\displaystyle s_{ii}(X_{m})}$ показывает, как изменится зависимая переменная ${\displaystyle Y}$ в регионе ${\displaystyle i}$ при изменении фактора ${\displaystyle X_{m}}$ в этом же регионе на одну единицу измерения.

Внедиагональные элементы этой матрицы называются косвенными предельными эффектами (или спилловерами); элемент ${\displaystyle s_{ij}(X_{m}),\ i\neq j}$ показывает, как изменится зависимая переменная ${\displaystyle Y}$ в регионе ${\displaystyle i}$ при изменении фактора ${\displaystyle X_{m}}$ в другом регионе ${\displaystyle j}$ на одну единицу измерения.

Поскольку предельных эффектов очень много, ${\displaystyle n}$ прямых и ${\displaystyle n^{2}-n}$ косвенных, то обычно интерпретируют средние предельные эффекты:

• средний прямой эффект (англ. average direct effect, ADE): ${\displaystyle ADE(X_{m})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{ii}}$, который показывает, как изменение переменной ${\displaystyle X_{m}}$ на одну единицу влияет на изменение переменной ${\displaystyle Y}$ в этом же регионе (например, как инвестиции в выбранном регионе влияют на экономический рост в этом регионе);
• средний косвенный эффект (также спилловер, англ. average indirect effect, AIE): ${\displaystyle AIE(X_{m})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1,i\neq j}^{n}s_{ij}}$, который показывает, как изменение переменной ${\displaystyle X_{m}}$ на одну единицу в соседних регионах влияет на изменение переменной ${\displaystyle Y}$ в выбранном регионе (например, как инвестиции в соседних регионах влияют на экономический рост в выбранном регионе);
• средний общий эффект (англ. average total effect, ATE): ${\displaystyle ATE(X_{m})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{ij}}$, который показывает, как изменение переменной ${\displaystyle X_{m}}$ на одну единицу во всех регионах влияет на изменение переменной ${\displaystyle Y}$ в выбранном регионе (например, как инвестиции в выбранном регионе и в соседних регионах в совокупности влияют на экономический рост).

Однако возможна и более детальная интерпретация частных предельных эффектов, приведённая, например, в статье Демидовой О. А. «Пространственные аспекты оценки кривой заработной платы в России».