Модель с пространственной зависимостью в ошибках

Моде́ль с простра́нственной зави́симостью в оши́бках (англ. spatial error model, SEM), пространственно-эконометрическая модель, применяемая при моделировании процессов с использованием региональных данных.

Применение данной модели целесообразно в случаях, когда в линейных регрессионных моделях в качестве объектов наблюдений используются страны, регионы и т. д., имеющие общие границы, потоки товаров, услуг и др., т. к. предположение о независимости данных наблюдений, которое входит в условие теоремы Гаусса – Маркова, нарушается. Если пространственная зависимость между факторами в моделях, оцениваемых по таким наблюдениям, не учтена, то она проявится в ошибках регрессии.

Пространственная зависимость шоков для соседних (в широком смысле) географических единиц может быть учтена с помощью модели с пространственной зависимостью в ошибках:

${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+X\beta +\epsilon ,\ \epsilon =\lambda W\epsilon +u}$,

где ${\displaystyle n}$ – число наблюдений, ${\displaystyle Y}$ – зависимая переменная, ${\displaystyle i_{n}}$ – единичный ${\displaystyle n}$-мерный вектор, ${\displaystyle X}$ – матрица объясняющих переменных, ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ – оцениваемые коэффициенты, ${\displaystyle \varepsilon }$ – ошибки регрессии, ${\displaystyle W}$ – пространственная матрица, ${\displaystyle \lambda }$ – коэффициент пространственной корреляции ошибок регрессии, ${\displaystyle u}$ – независимые одинаково распределённые случайные величины с дисперсией ${\displaystyle \sigma _{u}^{2}}$ (в предположении о нормальном распределении).

Для ответа на вопрос, действительно ли имеет место пространственная зависимость в остатках, обычно проверяется гипотеза (Fischer, Wang, 2011) ${\displaystyle H_{0}:\lambda =0}$ с помощью тестовой статистики Лагранжа:

${\displaystyle LM=({\frac {e'We}{{e'en}^{-1}}})^{2}{\frac {1}{tr[W'W+W^{2}]}}}$.

Поскольку ковариационная матрица ошибок регрессии, в случае их пространственной зависимости, не пропорциональна единичной, а именно ${\displaystyle var[e]=\sigma _{u}^{2}(I-\lambda W)^{-1}(I-\lambda W')^{-1}}$, то оценки параметров ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ методом наименьших квадратов будут несмещёнными, но их стандартные ошибки (а следовательно и t-статистики для проверки значимости) будут вычислены неверно. Поэтому для оценки параметров обычно используют метод максимального правдоподобия.

Оценки коэффициентов ${\displaystyle \beta }$ в модели с пространственной зависимостью в ошибках интерпретируются традиционным для линейных моделей образом: если коэффициент ${\displaystyle j}$ при переменной ${\displaystyle X_{j}}$ значим, то при увеличении ${\displaystyle X_{j}}$ на одну единицу, зависимая переменная изменится на ${\displaystyle j}$ единиц.

Для интерпретации коэффициента пространственной корреляции ${\displaystyle \lambda }$ ошибок регрессии удобно использовать следующее представление ошибок регрессии:

${\displaystyle \varepsilon =(I-\lambda W)^{-1}u=(I+\lambda W+\lambda ^{2}W^{2}+...)u=u+\lambda Wu+\lambda ^{2}W^{2}u+...}$,

где ${\displaystyle \varepsilon =(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})',\ u=(u_{1},...,u_{n})',\ Wu=((Wu)_{1},...,(Wu)_{n})',\ (Wu)_{i}=\sum _{j=1}^{n}w_{ij}u_{j}}$ и т. д.

В этом разложении ${\displaystyle u_{i}}$ характеризует шок переменной, произошедший в рассматриваемом ${\displaystyle i}$-м регионе, а ${\displaystyle (Wu)_{i}}$ – средние шоки этой же переменной в соседних с ${\displaystyle i}$-м регионах, ${\displaystyle (W^{2}u)_{i}}$ – шоки в соседних с соседними регионами и т. д. Чем меньше ${\displaystyle \mid \lambda \mid }$, тем быстрее затухает влияние шока, произошедшего в рассматриваемом ${\displaystyle i}$-м регионе, в соседних регионах.