Спилловер

Одно из преимуществ пространственно-эконометрических моделей состоит в возможности оценить спилловеры, или эффекты перелива, которые характеризуют влияние изменений, происходящих с одним рассматриваемым объектом, на другие рассматриваемые объекты. Например, после постройки станции метро в одном из районов большого города цены на недвижимость могут вырасти не только в этом районе, но и в соседних.

Различают локальные спилловеры [когда события, происходящие в одном регионе (далее в качестве географических единиц рассматриваются регионы), влияют на процессы только в соседних регионах] и глобальные спилловеры (когда события, происходящие в одном регионе, влияют на процессы во всех остальных регионах) (Anselin. 2003). Обычно под «соседями» в этом случае имеют в виду регионы с общей границей или регионы, расположенные друг от друга не далее некоторого заранее определённого расстояния, и т. п.

Оценку локальных спилловеров получают в рамках моделей, в которые включены пространственные лаги только объясняющих переменных:

${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+X\beta +WX\Theta +\epsilon }$,

где ${\displaystyle Y}$ – зависимая переменная, ${\displaystyle n}$ – число рассматриваемых объектов, ${\displaystyle i_{n}}$ – единичный вектор длины ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$ – матрица объясняющих переменных, ${\displaystyle W=(w_{ij})}$ – нормированная по строкам пространственная матрица, ${\displaystyle WX}$ – матрица пространственных лагов объясняющих переменных, ${\displaystyle \epsilon }$ – вектор ошибок регрессии.

Для вычисления локальных спилловеров более удобна следующая форма этого уравнения:

${\displaystyle Y_{i}=\alpha +\beta _{1}X_{1i}+\ldots +\beta _{k}X_{ki}+\theta _{1}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}X_{1j}+\ldots +\theta _{k}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}X_{kj}+\varepsilon _{i},{\text{ }}i=1,\ldots ,n}$,

из которой очевидно, что при изменении переменной ${\displaystyle X_{m},\ m=1,\ldots ,k}$ на одну единицу в каждом из соседних с ${\displaystyle i}$-м регионов ${\displaystyle Y_{i}}$ изменится на ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{m}}$, а при изменении переменной только в регионе ${\displaystyle j_{0}}$ – на ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{m}w_{ij_{0}}}$. Это и будут локальные спилловеры.

Если в модель входят пространственные лаги зависимой переменной (${\displaystyle WY}$), то говорят о глобальных спилловерах.

Продемонстрируем, как оценить влияние всех регионов на выбранный регион на примере модели пространственной авторегрессии (SAR):

${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+\rho WY+X\beta +\epsilon }$,

которую можно переписать в следующем виде:

${\displaystyle (I-\rho W)Y=\alpha i_{n}+X\beta +\epsilon }$

или

${\displaystyle Y=(I-\rho W)^{-1}\alpha i_{n}+(I-\rho W)^{-1}X\beta +(I-\rho W)^{-1}\varepsilon }$,

поскольку

${\displaystyle (I-\rho W)^{-1}X\beta =(I+\rho W+\rho ^{2}W^{2}+\rho ^{3}W^{3}+\ldots )X\beta =X\beta +\rho WX\beta +\rho ^{2}W^{2}X\beta +\rho ^{3}W^{3}X\beta +\ldots }$,

то ${\displaystyle \rho WX\beta }$ характеризует влияние соседей первого порядка, ${\displaystyle \rho ^{2}W^{2}X\beta }$ – соседей второго порядка (или соседей соседей), ${\displaystyle \rho ^{3}W^{3}X\beta }$ – соседей третьего порядка и т. д.

Кроме того, широкое распространение получило вычисление косвенных предельных эффектов ${\displaystyle {\frac {\partial E(Yi)}{\partial X_{mj}}},\ i,j=1,\ldots ,n}$, также называемых спилловерами (LeSage. 2009).

Для наиболее общей пространственной модели Дарбина, включающей пространственные лаги как зависимой, так и объясняющих переменных:

${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+\rho WY+X\beta +WX\Theta +\epsilon }$,

косвенные предельные эффекты для каждой переменной ${\displaystyle X_{m},m=1,\ldots ,k}$ являются внедиагональными элементами матрицы

${\displaystyle {\begin{aligned}S(X_{m})={\frac {\partial E(Y)}{\partial X_{m}}}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\frac {\partial E(Y_{1})}{\partial X_{m1}}}\,\,\cdots \,\,{\frac {\partial E(Y_{1})}{\partial X_{mn}}}\\\vdots \,\,\,\,\,\,\ddots \,\,\,\,\,\,\vdots \end{array}}\\{\frac {\partial E(Y_{n})}{\partial X_{m1}}}\,\,\cdots \,\,{\frac {\partial E(Y_{n})}{\partial X_{mn}}}\end{array}}\right)=(I-\rho W)^{-1}(\beta _{m}I+W\theta _{m})=\\=(I-\rho W)^{-1}\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\beta _{m}\,\,\,\,\,w_{12}\theta _{m}\,\cdots \,w_{1n}\theta _{m}\\w_{21}\theta _{m}\,\,\,\,\,\,\beta _{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots \end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ddots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\\w_{n1}\theta _{m}\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta _{m}\end{array}}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$.

Однако даже для одной переменной количество спилловеров будет определяться выражением ${\displaystyle n^{2}-n}$, что при увеличении числа наблюдений усложняет интерпретацию получаемых значений спилловеров, поэтому обычно вычисляют средний косвенный предельный эффект (average indirect effect, AIE) для каждой переменной ${\displaystyle AIE(X_{m})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1,i\neq j}^{n}s_{ij}}$, который показывает, как изменение переменной ${\displaystyle X_{m}}$ на одну единицу в соседних регионах влияет на изменение переменной ${\displaystyle Y}$ в выбранном регионе (например, как инвестиции в соседних регионах влияют на экономический рост в выбранном регионе).

Однако возможна и более детальная интерпретация частных предельных эффектов, приведённая, например, в статье О. А. Демидовой «Пространственные аспекты оценки кривой заработной платы в России» (Демидова. 2021^[1]).