Индекс Морана

И́ндекс Мора́на, показатель, позволяющий выявлять региональные кластеры. Является одним из самых популярных показателей, который вычисляется для выявления пространственных кластеров (наряду с индексами Гири и Гетиса – Орда).

Индекс Морана для выбранного показателя ${\displaystyle Y}$ рассчитывается по формуле:

${\displaystyle I(Y)={\frac {\sum _{i,j=1}^{n}w_{i,j}(Y_{i}-{\overline {Y}})(Y_{j}-{\overline {Y}})}{\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}}}$,

где ${\displaystyle w_{i,j}}$ – элементы нормированной по строкам взвешивающей матрицы ${\displaystyle W,\ i,j=1,...,n}$.

Индекс Морана может принимать значения ${\displaystyle -1<I(Y)<1}$. С его помощью можно проверить гипотезу ${\displaystyle H_{0}:I=E(I)}$ (т. е. значения исследуемого показателя в рассматриваемых регионах являются случайной величиной) при альтернативных гипотезах:

• ${\displaystyle H_{1}:I>E(I)}$ – имеет место положительная пространственная автокорреляция, что соответствует кластеризации регионов по выбранному показателю (регионы с высоким значением выбранного показателя в основном соседствуют с регионами с высоким значением этого показателя, а регионы с низким значением выбранного показателя в основном соседствуют с регионами с низким значением этого показателя) или
• ${\displaystyle H_{1}:I<E(I)}$ – имеет место отрицательная пространственная автокорреляция, что соответствует рассредоточенным (англ. dispersed) по выбранному показателю регионам [если выбранный регион имеет высокое (низкое) значение рассматриваемого показателя, то этот показатель низок (велик) в соседних регионах].

Эти гипотезы проверяются с помощью тестовой статистики ${\displaystyle z={\frac {I-E(I)}{\sqrt[{}]{Var(I)}}}}$, асимптотически имеющей стандартное нормальное распределение, где ${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{(n-1)}}\approx 0}$ для территорий с большим числом регионов (в том числе России).

Если при выбранном уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$ выполняется неравенство ${\displaystyle z>z_{\alpha }^{cr}}$ (${\displaystyle z^{cr}=1,645}$ при ${\displaystyle \alpha =0,05}$), то гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ о случайном расположении регионов отвергается в пользу гипотезы об их кластеризации, а если ${\displaystyle z<-z_{\alpha }^{cr}}$ – в пользу гипотезы об их рассредоточении.

Индекс Морана совпадает с оценкой коэффициента наклона (${\displaystyle \beta _{1}}$) в регрессии${\displaystyle WY=\beta _{0}+\beta _{1}Y+\varepsilon }$, полученной методом наименьших квадратов.