Пространственный лаг

Простра́нственный лаг, аналог временно́го лага в пространстве. Пространственные лаги зависимой и/или объясняющих переменных и/или ошибок регрессии являются основными элементами пространственно-эконометрических моделей.

Понятие пространственного лага появилось по аналогии с временны́ми лагами в моделях временны́х рядов: аналогом временно́го лага ${\displaystyle LY_{t}=Y_{t-1}}$ (где L – лаговый оператор) служит пространственный лаг ${\displaystyle WY}$ (где ${\displaystyle W}$ – взвешивающая матрица). Если временно́й лаг ${\displaystyle LY_{t}}$ задаёт соседнее (а именно – предыдущее) значение переменной ${\displaystyle Y}$, то пространственный лаг позволяет судить о значении переменной ${\displaystyle Y}$ в соседних (в широком смысле) объектах наблюдения (странах, регионах и т. д.). Если время одномерно и у ${\displaystyle Y_{t}}$ только два соседа по времени, ${\displaystyle Y_{t-1}}$ и ${\displaystyle Y_{t+1}}$, то в пространственном случае соседей гораздо больше и их общее влияние отражается с помощью взвешивающей матрицы, нормированной по строкам.

Пространственный лаг вычисляется по формуле ${\displaystyle WY_{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{ij}Y_{j},\ i=1,\ldots ,n}$, (${\displaystyle n}$ – число рассматриваемых объектов, например, регионов, ${\displaystyle w_{ij}}$ – веса для регионов – соседей ${\displaystyle i}$-го региона) и имеет достаточно простую интерпретацию – это средневзвешенное значение показателя ${\displaystyle Y}$ в соседних (в широком смысле) регионах.

Приведём пример (Демидова, 2021) вычисления пространственного лага для уровня региональной безработицы в регионах Уральского федерального округа, включающего: 1) Челябинскую область, 2) Курганскую область, 3) Свердловскую область, 4) Тюменскую область (без автономных округов), 5) Ханты-Мансийский автономный округ, 6) Ямало-Ненецкий автономный округ (именно такой порядок регионов используется далее при вычислении взвешивающей матрицы и пространственного лага).

В качестве взвешивающей матрицы выбрана граничная матрица (с равными весами ${\displaystyle w_{ij}}$ для каждого из регионов ${\displaystyle j=1,\ldots ,6}$, у которых с регионом ${\displaystyle i}$ есть совместная граница):

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}0\ \ \ {\frac {1}{2}}\ \ \ {\frac {1}{2}}\ \ \ 0\ \ \ 0\ \ \ 0\\{\frac {1}{3}}\ \ \ 0\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ 0\ \ \ 0\end{array}}\\{\frac {1}{4}}\ \ \ {\frac {1}{4}}\ \ \ 0\ \ \ {\frac {1}{4}}\ \ \ {\frac {1}{4}}\ \ \ 0\end{array}}\\0\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ 0\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ 0\end{array}}\\{\begin{array}{c}0\ \ \ 0\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ {\frac {1}{3}}\ \ \ 0\ \ \ {\frac {1}{3}}\\0\ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 0\end{array}}\end{array}}\right)}$.

${\displaystyle Y=(5.1\ 7.8\ 4.2\ 4.1\ 2.5\ 1.9)'}$– это уровень региональной безработицы в 2020 г. (Регионы России. Социально-экономические показатели, 2021). Тогда пространственный лаг ${\displaystyle WY=(6\ 4.47\ 4.88\ 4.83\ 3.4\ 2.5)'}$ – это средний уровень безработицы в соседних регионах. Таким образом, в Челябинской области уровень безработицы в 2020 г. составлял 5,1 %, а средний уровень безработицы в соседних регионах – 6 %, в Курганской области соответственно 7,8 % и 4,47 %, в Свердловской области – 4,2 % и 4,88 %, в Тюменской области (без автономных округов) – 4,1 % и 4,83 %, в Ханты-Мансийском автономном округе – 2,5 % и 3,4 %, в Ямало-Ненецком автономном округе – 1,9 % и 2,5 %.

За счёт введения пространственных лагов переменных основные пространственно-эконометрические модели выглядят аналогично основным моделям временны́х рядов, только временны́е лаги ${\displaystyle LY_{t}}$ и др. заменяются на пространственные лаги ${\displaystyle WY}$. Введение в модель пространственных лагов помогает существенно сократить количество оцениваемых параметров, но в то же время не допустить смещения в оценках, вызванного пропуском существенных переменных, поскольку пространственные лаги отражают влияние регионов-соседей на каждый из рассматриваемых регионов.