Пространственно-эконометрические модели

Простра́нственно-эконометри́ческие моде́ли, экономико-математические модели, позволяющие учитывать пространственную зависимость между географическими единицами.

Поскольку для оценки некоторых линейных регрессионных моделей используются наблюдения для таких объектов, как страны, регионы и т. д., имеющие общие границы, потоки товаров, услуг и т. п., необходимо принимать во внимание влияние регионов друг на друга. Однако если учитывать это влияние слишком детально, придётся вводить в модель чрезмерно много параметров, что затруднит её оценивание. В то же время, если это влияние не учитывать, может возникнуть проблема смещения оценок коэффициентов вследствие пропуска существенных переменных (англ. omitted variable bias). Компромиссом является использование пространственно-эконометрических моделей, в которых влияние других регионов отражается за счёт включения пространственных лагов зависимой и/или объясняющих (независимых) переменных, при этом количество оцениваемых параметров увеличивается незначительно.

По форме пространственно-эконометрические модели аналогичны моделям временных рядов (см. таблицу), только временные лаги в них заменяются на пространственные, т. е., например, вместо ${\displaystyle Y_{t-1}}$ используется ${\displaystyle WY}$, где ${\displaystyle W}$ – взвешивающая матрица.

Аналогии между моделями временных рядов и пространственно-эконометрическими моделями.

Модели временных рядов	Пространственно-эконометрические модели (${\displaystyle X}$ – матрица объясняющих переменных)
${\displaystyle Y_{t}=\alpha +\rho Y_{t-1}+\varepsilon _{t},\ \varepsilon _{t}\sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2})}$ – авторегрессионная модель ${\displaystyle (AR(1))}$,	${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+\rho WY+\varepsilon }$ или ${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+\rho WY+X\beta +\varepsilon ,\ \varepsilon \sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2}I)}$ – пространственно-авторегрессионная модель (англ. spatial autoregression model, SAR)
${\displaystyle Y_{t}=\alpha +\beta X_{t}+\varepsilon _{t},\ \varepsilon _{t}=\lambda \varepsilon _{t-1}+u_{t},u_{t}\sim N(0,\sigma _{u}^{2})}$ – модель с автокорреляцией в ошибках	${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+X\beta +\varepsilon ,\ \varepsilon =\lambda W\varepsilon +u,\ u\sim N(0,\sigma _{u}^{2}\varepsilon )}$ – пространственная модель с автокорреляцией в ошибках (англ. spatial error model, SEM)
${\displaystyle Y_{t}=\alpha +\beta _{0}X_{t}+\beta _{1}X_{t-1}+...+\varepsilon _{t},\ \varepsilon _{t}\sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2})}$ – модель с распределёнными лагами	${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+X\beta +WX\theta +\varepsilon ,\ \varepsilon \sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2}I)}$ – модель с пространственными лагами объясняющих переменных (англ. spatial lag model, SLX)
${\displaystyle Y_{t}=\alpha +\rho Y_{t-1}+\beta _{0}X_{t}+\beta _{1}X_{t-1}+...+\varepsilon _{t},\ \varepsilon _{t}\sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2})}$ – авторегрессионная модель с распределёнными лагами	${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+\rho WY+X\beta +WX\theta +\varepsilon ,\ \varepsilon \sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2}I)}$ – пространственная модель Дарбина с пространственными лагами зависимой и объясняющих переменных (англ. spatial lag model, SDM)

Анализ необходимости включения в модели пространственных лагов обычно начинается с вычисления индикаторов пространственной зависимости – индексов Морана, Гири, Гетиса – Орда. Если соответствующая зависимость выявлена, то для выбора конкретной спецификации модели используют 2 основных подхода.

Первый подход (Simple diagnostic ... 1996) состоит в оценке линейной модели ${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+X\beta +\epsilon }$, сохранении остатков этой регрессии ${\displaystyle e'=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ и проверке гипотез:

• ${\displaystyle H_{0}:Y=\alpha i_{n}+X\beta +\epsilon ,\ \epsilon =\lambda W\epsilon +u,\ \lambda =0}$ (т. е. пространственная зависимость в ошибках регрессии отсутствует) при альтернативной гипотезе ${\displaystyle H_{1}:Y=\alpha i_{n}+X\beta +\epsilon ,\ \epsilon =\lambda W\epsilon +u,\ \lambda \neq 0}$ (т. е. это модель SEM). Проверка гипотез осуществляется с помощью теста Лагранжа путём вычисления тестовой статистики:${\displaystyle LM(error)=({\frac {e'We}{e'en^{-1}}})^{2}{\frac {1}{tr[W'W+W^{2}]}}{\begin{array}{c}{H_{0}}\\\sim \end{array}}\chi ^{2}(1)}$,
• ${\displaystyle H_{0}:Y=\alpha i_{n}+\rho WY+X\beta +\epsilon ,\ \rho =0}$ (т. е. пространственный лаг зависимой переменной отсутствует) при альтернативной гипотезе ${\displaystyle H_{1}:Y=\alpha i_{n}+\rho WY+X\beta +\epsilon ,\ \rho \neq 0}$ (т. е. это модель SAR). Проверка гипотез осуществляется с помощью теста Лагранжа путём вычисления тестовой статистики ${\displaystyle LM(lag)=({\frac {e'WY}{e'en^{-1}}})^{2}{\frac {1}{H}}{\begin{array}{c}{H_{0}}\\\sim \end{array}}\chi ^{2}(1)}$, ${\displaystyle H=\{(WX{\widehat {\beta }})'[I-X(X'X)^{-1}X'](WX{\widehat {\beta }}){\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }^{-2}\}+tr(W'W+W^{2})}$.

При втором подходе (Elhorst. 2014^[1]; LeSage. 2009^[2]; Kelejian. 2010) оценивается наиболее общая модель (англ. general nesting spatial model, GNS):

${\displaystyle Y=\alpha i_{n}+X\beta +\rho WY+WX\Theta +u,\ \epsilon =\lambda W\epsilon +u}$,

затем с помощью теста Лагранжа или Вальда проверяются гипотезы:

• ${\displaystyle H_{0}:\lambda =0}$ (тогда модель сводится к SDM);
• ${\displaystyle H_{0}:\rho =0,\ \lambda =0}$ (тогда модель сводится к SLX);
• ${\displaystyle H_{0}:\Theta =0,\ \lambda =0}$ (тогда модель сводится к SAR);
• ${\displaystyle H_{0}:\rho =0,\;\ \Theta =0,\ \lambda =0}$ (тогда модель сводится к линейной регрессионной модели);
• ${\displaystyle H_{0}:\Theta +\rho \beta =0}$ (тогда модель сводится к SEM).

Если среди объясняющих переменных встречается лаг зависимой переменной, то возникает проблема эндогенности, поскольку этот лаг коррелирует с ошибками регрессии. В этом случае параметры модели оцениваются с помощью метода максимального правдоподобия (обычно при предположении, что ошибки имеют нормальное распределение) или с помощью обобщённого метода моментов.

В целях интерпретации результатов оценивания моделей для каждого из объясняющих факторов ${\displaystyle X_{m},\ m=1,\ldots ,k}$ вычисляют предельные эффекты ${\displaystyle {\frac {\partial E(Y_{i})}{\partial X_{mj}}}}$. Эти эффекты показывают, какие изменения произойдут в регионе ${\displaystyle i}$ при изменении фактора ${\displaystyle X_{m}}$ в ${\displaystyle j}$-м регионе.

Если ${\displaystyle i=j}$, то соответствующие предельные эффекты называются прямыми; если ${\displaystyle i\neq j}$ – то косвенными, или спилловерами. Например, если ${\displaystyle Y_{i}}$ – уровень безработицы в регионе ${\displaystyle i}$ (в процентах), а ${\displaystyle X_{mj}}$ – валовой региональный продукт (ВРП) на душу населения (в тысячах рублей), то прямой эффект ${\displaystyle {\frac {\partial E(Y_{i})}{\partial X_{mi}}}}$ показывает, на сколько процентных пунктов изменится безработица в регионе ${\displaystyle i}$ при увеличении ВРП на душу населения в этом регионе на 1 тыс. руб. Косвенный эффект ${\displaystyle {\frac {\partial E(Y_{i})}{\partial X_{mj}}}}$ показывает, на сколько процентных пунктов изменится безработица в регионе ${\displaystyle i}$ при увеличении ВРП на душу населения в регионе ${\displaystyle j}$ на 1 тыс. руб.

Для наиболее общей пространственной модели Дарбина, которую также можно переписать в следующем виде:

${\displaystyle Y=(I-\rho W)^{-1}(\alpha i_{n}+X\beta +WX\Theta +\epsilon )}$,

предельные эффекты вычисляются по формуле:

${\displaystyle {\frac {\partial E(Y)}{\partial X_{m}}}\;=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\frac {\partial E(Y_{1})}{\partial X_{m1}}}\ \ldots \ {\frac {\partial E(Y_{1})}{\partial X_{mn}}}\\\ \vdots \ \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \vdots \ \end{array}}\\{\frac {\partial E(Y_{n})}{\partial X_{m1}}}\ \ldots \ {\frac {\partial E(Y_{n})}{\partial X_{mn}}}\end{array}}\right)=(1-\rho W)^{-1}(\beta _{m}I+W\theta _{m})=S(X_{m})}$.

Эта матрица ${\displaystyle S(X_{m})}$ для каждой переменной имеет размер ${\displaystyle (n\times n)}$. Диагональные элементы матрицы являются прямыми эффектами, а внедиагональные – косвенными. Поскольку прямых и косвенных эффектов очень много, то обычно для каждой переменной вычисляют:

• средние прямые предельные эффекты ${\displaystyle ADE={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{ii}}$ (англ. average direct effect);
• средние косвенные предельные эффекты ${\displaystyle AIE={\frac {1}{n}}\sum _{i,j=1,i\neq j}^{n}s_{ij}}$ (англ. average indirect effect);
• общие предельные эффекты ${\displaystyle ATE={\frac {1}{n}}\sum _{i,j=1}^{n}s_{ij}}$ (англ. average total effect).

Пример более детальной интерпретации предельных эффектов приведён в исследовании О. А. Демидовой «Методы пространственной эконометрики и оценка эффективности государственных программ» (Демидова. 2021^[3]). Алгоритм проверки значимости предельных эффектов описан также и в работе Дж. П. Элхорста «Пространственная эконометрика: от перекрёстных данных к пространственным панелям» (Elhorst. 2014.^[4] P. 24–25).