Локальные индикаторы пространственной зависимости

Локальный индекс Морана для каждого из регионов ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ определяется следующим образом (Fischer, Wang, 2011, р. 27):

${\displaystyle I_{i}(Y)=(Y_{i}-{\overline {Y}}_{J_{i}})\sum _{j\in J_{i}}^{n}w_{ij}(Y_{j}-{\overline {Y}}_{J_{i}})^{2}}$,

где ${\displaystyle J_{i}}$ обозначает множество соседей региона ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle {\overline {Y}}_{J_{i}}}$ – среднее значение рассматриваемого показателя в соседних для региона ${\displaystyle i}$ наблюдений, ${\displaystyle w_{ij}}$ – элемент взвешивающей матрицы, ${\displaystyle n}$ – число регионов.

С помощью локального индекса Морана можно проверить гипотезу ${\displaystyle H_{0}:I_{i}=E(I_{i})}$ (т. е. соседние с ${\displaystyle i}$-м регионы расположены случайным образом по рассматриваемому показателю) при альтернативной гипотезе:

• ${\displaystyle H_{1}:I_{i}>E(I_{i})}$ (т. е. регион ${\displaystyle i}$ расположен в локальном кластере) или
• ${\displaystyle H_{1}:I_{i}<E(I_{i})}$ (если у региона ${\displaystyle i}$ наблюдается высокое значение рассматриваемого показателя ${\displaystyle Y}$, то у соседних регионов соответствующие показатели являются низкими, и наоборот).

Эти гипотезы проверяются с помощью тестовой статистики ${\displaystyle z={\frac {I_{i}-E(I_{i})}{\sqrt[{}]{Var(I_{i})}}}}$, где ${\displaystyle E(I_{i})={\frac {-1}{n-1}}\approx 0}$ для стран с большим числом регионов (в том числе России). Для этой статистики известны математическое ожидание и некоторые моменты, в том числе дисперсия (Fischer, Wang, 2010, р. 28). Но точный закон соответствующего распределения тестовой статистики неизвестен, его приходится восстанавливать с помощью симуляций (это успешно реализовано во многих статистических пакетах) и вычислять p-значение (англ. p-value) для проверяемой гипотезы. При большом числе наблюдений часто в качестве аппроксимирующего используется нормальное распределение. Соответствующая процедура выбора между нулевой и альтернативной гипотезами имеет некоторые особенности (критическое значение p-value зависит от количества наблюдений n), а именно при выбранном уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$ (например, 0,05) правило выбора между нулевой и альтернативной гипотезами имеет вид: если p-value${\displaystyle <{\frac {\alpha }{n}}}$, то гипотеза о случайном характере распределения регионов в окрестности ${\displaystyle i}$-го региона отвергается.

Локальный индекс Гири для каждого из регионов ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ используется аналогично локальному индексу Морана и определяется по формуле (Fischer, Wang, 2010, р. 29):

${\displaystyle {\text{с}}_{i}(Y)=\sum _{j\in J_{i}}^{n}w_{ij}(Y_{i}-Y_{j})^{2}}$.

Локальные индексы Гетиса – Орда для каждого из регионов ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ и расстояния ${\displaystyle d}$ определяются следующим образом (Fischer, Wang, 2010, р. 27):

${\displaystyle G_{i}(d,Y)={\frac {\sum _{j\neq i}^{n}w_{ij}(d)Y_{j}}{\sum _{j\neq i}^{n}Y_{j}}},{\text{ }}G_{i}^{*}(d,Y)={\frac {\sum _{j=i}^{n}w_{ij}(d)Y_{j}}{\sum _{j=i}^{n}Y_{j}}}}$,

где ${\displaystyle w_{ij}(d)=0}$, если расстояние между регионами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ больше ${\displaystyle d}$, и ${\displaystyle w_{ij}(d)={\frac {1}{{\text{количество}}\ {\text{регионов}},\ {\text{расстояние}}\ {\text{от}}\ {\text{которых}}\ {\text{до}}\ {\text{региона}}\ i\;{\text{не}}\ {\text{превышает}}\ d}}}$, если расстояние между регионами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ не превышает ${\displaystyle d}$. Отличие этих индексов состоит во включении или невключении в суммы показателя ${\displaystyle Y_{i}}$ для самого региона ${\displaystyle i}$.

С помощью локальных индексов Гетиса – Орда для каждого региона ${\displaystyle i}$ можно проверить гипотезу ${\displaystyle H_{0}:G_{i}(d)=E(G_{i}(d))}$ (т. е. регион ${\displaystyle i}$ не входит в локальный кластер по рассматриваемому показателю) при альтернативной гипотезе:

• ${\displaystyle H_{1}:G_{i}(d)>E(G_{i}(d))}$ (регион ${\displaystyle i}$ входит в локальный кластер с большими значениями рассматриваемого показателя, их часто называют hot spots) или
• ${\displaystyle H_{1}:G_{i}(d)<E(G_{i}(d))}$ (регион ${\displaystyle i}$ входит в локальный кластер с малыми значениями рассматриваемого показателя, их часто называют cold spots).

Алгоритм проверки соответствующей гипотезы с помощью ${\displaystyle z}$-статистики совпадает с описанным выше для локального индекса Морана (в этом случае также основная гипотеза отвергается, если p-value${\displaystyle <{\frac {\alpha }{n}}}$).

Локальные индикаторы пространственной зависимости могут быть использованы для выявления локальных очагов нестационарности.