Строгая экзогенность

Стро́гая экзоге́нность (англ. strict exogeneity), одно из предположений классической линейной модели регрессии с ${\displaystyle p}$ объясняющими переменными (регрессорами):

${\displaystyle y_{i}=\theta _{1}x_{i1}+...+\theta _{p}x_{ip}+\varepsilon _{i},\ i=1,...,n,\ n\geq p}$,

где ${\displaystyle y_{i}}$ – зависимая переменная, ${\displaystyle x_{ij}}$ – j-я независимая переменная, ${\displaystyle \theta _{j}}$ – коэффициент.

Строгая экзогенность является ключевым предположением для доказательства свойства несмещённости оценок наименьших квадратов коэффициентов модели. Если объединить значения ${\displaystyle x_{ij}}$ всех ${\displaystyle p}$ регрессоров во всех ${\displaystyle n}$ наблюдениях в матрицу:

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{c}x_{11}\ x_{12}\ ...\ x_{1p}\\x_{21}\ x_{22}\ ...\ x_{2p}\\...\\x_{n1}\ x_{n2}\ ...\ x_{np}\end{array}}\right)}$,

то строгая экзогенность означает выполнение условия ${\displaystyle E(\varepsilon _{i}\mid X)=0,\ i=1,...,n}$, где ${\displaystyle E(\varepsilon _{i}\mid X)}$ – условное относительно всех элементов этой матрицы математическое ожидание случайной составляющей (ошибки) ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ в ${\displaystyle i}$-м наблюдении.

Из предположения о строгой экзогенности вытекает несколько важных следствий:

• ${\displaystyle E(\varepsilon _{i})=0,\ i=1,...,n}$ (безусловное математическое ожидание ошибки равно нулю);
• ${\displaystyle E(x_{sj}\varepsilon _{i})=0,\ i,s=1,...,n;\ j=1,...,p}$ (регрессоры ортогональны ошибкам во всех наблюдениях);
• ${\displaystyle Cov(x_{sj}\varepsilon _{i})=0,\ i,s=1,...,n;\ j=1,...,p}$ (регрессоры не коррелированы с ошибками во всех наблюдениях).

В статических моделях регрессии обычными источниками нарушения условия строгой экзогенности являются: пропущенные переменные (невключение в число регрессоров переменной, которая коррелирована и с ошибкой, и с переменной, включённой в модель в качестве регрессора); ошибки в переменных (использование вместо истинных значений объясняющих переменных значений, измеренных с ошибкой); а также неучёт того, что рассматриваемое уравнение регрессии является частью системы одновременных уравнений. (что приводит к игнорированию обратной связи, возникающей в результате того, что зависимая переменная влияет на значение регрессора).

В моделях временных рядов, где ${\displaystyle i}$ обозначает время, второе следствие можно переформулировать как ортогональность регрессоров прошлым, текущим и будущим ошибкам (что равносильно ортогональности ошибок прошлым, текущим и будущим значениям регрессоров). Однако для большинства моделей временных рядов это условие не выполнено, в чем можно убедиться уже на простейшей модели авторегрессии первого порядка, что приводит к смещению оценок коэффициентов модели при конечном количестве наблюдений. В таких ситуациях тем не менее может сохраняться состоятельность оценок коэффициентов, для выполнения которой достаточно предполагать только одновременную (англ. simultaneous) некоррелированность регрессоров и ошибок (в каждый отдельный момент времени регрессоры должны быть не коррелированными с ошибкой для этого момента времени, но допускается, что они могут быть коррелированными с ошибками для других моментов времени).