Уравнение Кортевега – де Фриза

Уравне́ние Кортеве́га – де Фри́за (КдФ-уравнение), уравнение вида

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0;\quad }$
${\displaystyle x,t\in \mathbb {R} ^{1},\quad u(x,t)\in \mathbb {R} ^{1}}$,

предложено Д. Кортевегом и Г. де Фризом (Korteweg. 1895^[1]) для описания распространения волн на мелкой воде. Оно может быть проинтегрировано с помощью метода обратной задачи теории рассеяния, который основан на представлении уравнения Кортевега – де Фриза в виде

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=[L,M]=LM-ML}$,

где ${\displaystyle L=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+u(x,t)}$ – одномерный оператор Шрёдингера, a

${\displaystyle M=4{\frac {\partial ^{3}}{\partial x^{3}}}-3\left(u{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u\right)}$.

Для уравнения Кортевега – де Фриза однозначно разрешима задача Коши в классе быстроубывающих функций с начальным условием: ${\displaystyle u(x)\in S\left(\mathbb {R} ^{1}\right)}$ [здесь ${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{1}\right)}$ – пространство Шварцa]. Пусть

${\displaystyle }$
${\displaystyle s=\left\{r(k)\in S\left(\mathbb {R} ^{1}\right);\,\,x_{j},m_{j}>0,\,\,x_{j_{1}}\neq x_{j_{2}}\right.\,\,{\text{при}}\,\,j_{1}\neq j_{2},}$
${\displaystyle \left.j=1,\ldots ,n\right\}}$
${\displaystyle }$

– данные рассеяния для оператора Шрёдингера с потенциалом ${\displaystyle u(x)}$. Toгдa

${\displaystyle r(k,t)=e^{8ik^{3}t}r(k),\quad m_{j}(t)=e^{8x_{j}^{3}t}m_{j},\quad x_{j}(t)=x_{j}}$,

и решение ${\displaystyle u(x,t)}$ определяется по данным рассеяния ${\displaystyle s(t)}$ с помощью некоторого интегрального уравнения. В случае ${\displaystyle r(k)=0}$ последнее уравнение явно решается; возникающие таким образом потенциалы называются безотражательными, а соответствующие решения уравнения Кортевега – де Фриза – ${\displaystyle n}$-солитонными (см. в статье Солитон).

Уравнение Кортевега – де Фриза записывается в гамильтоновом виде:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\delta H}{\delta u}},\quad H(u)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left(u^{3}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}\right)\,dx}$;

здесь фазовым пространством является пространство ${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{1}\right)}$, а скобки Пуассона задаются билинейной формой оператора ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$. Отображение ${\displaystyle u(x)\rightarrow s}$ представляет собой каноническое преобразование к переменным типа «действие – угол». В новых переменных гамильтоновы уравнения явно интегрируются и их решение даётся указанными выше формулами. Уравнение Кортевега – де Фриза обладает бесконечным набором интегралов движения:

${\displaystyle }$
${\displaystyle I_{n}(u)=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}\left(u,{\frac {\partial u}{\partial x}},\ldots ,{\frac {\partial ^{n-2}u}{\partial x^{n-2}}}\right)\,dx}$
${\displaystyle P_{1}=u,\quad P_{n}=-{\frac {\partial P_{n-1}}{\partial x}}+\sum _{j=1}^{n-1}P_{n-1-j}P_{j},\,\,n>1.}$
${\displaystyle }$

Все эти интегралы движения находятся в инволюции, и порождаемые ими гамильтоновы системы (т. н. высшие уравнения Кортевега – де Фриза) вполне интегрируемы.

С помощью интегральных уравнений обратной задачи также находится решение задачи Коши для начального данного типа ступеньки:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }u(x)=c<0,\quad \lim _{x\rightarrow +\infty }u(x)=0}$.

При ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$ в окрестности фронта решение ${\displaystyle u(x,t)}$ распадается на невзаимодействующие солитоны – происходит распад ступеньки.

В случае задачи Коши с периодическим начальным условием ${\displaystyle u(x+T)=u(x)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{1}}$, аналогом безотражательных потенциалов являются потенциалы, для которых оператор Шрёдингера имеет конечное число запрещённых зон – конечнозонные потенциалы. Периодические и почти периодические конечнозонные потенциалы являются стационарными решениями высших уравнений Кортевега – де Фриза; последние представляют собой вполне интегрируемые конечномерные гамильтоновы системы. Произвольный периодический потенциал аппроксимируется конечнозонными. Пусть ${\displaystyle E_{j}\in \mathbb {R} ^{1}}$; ${\displaystyle E_{j_{1}}\neq E_{j_{2}}}$ при ${\displaystyle j_{1}\neq j_{2}}$; ${\displaystyle j=1,\ldots ,2g+1}$ – края зон; a ${\displaystyle \Gamma }$ – гиперэллиптическая кривая

${\displaystyle y^{2}=\prod _{i=1}^{2g+1}\left(x-E_{j}\right)}$

над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тогда действительнозначные почти периодические потенциалы с указанными краями зон, а также решения задачи Коши выражаются через ${\displaystyle \theta }$-функции на многообразии Якоби ${\displaystyle J(\Gamma )}$ кривой ${\displaystyle \Gamma }$. При определённых соотношениях на края зон полученные решения будут периодическими. Если отказаться от условий ${\displaystyle E_{j}\in \mathbb {R} ^{1}}$, то получатся комплекснозначные (возможно с полюсами) решения уравнения Кортевега – де Фриза, которые также называются конечнозонными.