Дифференциал

Дифференциа́л, главная линейная часть приращения функции.

1) Действительная функция ${\displaystyle y=f(x)}$ действительного переменного называется дифференцируемой в точке ${\displaystyle x}$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если существует такое число ${\displaystyle A}$, что приращение

${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$

${\displaystyle (}$при условии, что точка ${\displaystyle x+\Delta x}$ лежит в упомянутой окрестности${\displaystyle )}$ может быть представлено в виде

${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha ,}$

где ${\displaystyle \alpha /\Delta x\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$. При этом ${\displaystyle A\Delta x}$ обозначается через ${\displaystyle dy}$ и называется дифференциалом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$. Дифференциал ${\displaystyle dy}$ при фиксированном ${\displaystyle x}$ пропорционален ${\displaystyle \Delta x}$, т. е. является линейной функцией от ${\displaystyle \Delta x}$. Дополнительный член ${\displaystyle \alpha }$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle (}$и по сравнению с ${\displaystyle dy}$, если ${\displaystyle A\neq 0)}$. Именно в этом смысле дифференциал и называется главной частью приращения функции.

Для функции, дифференцируемой в точке ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \Delta y\to 0}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$, т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x}$ в том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim \limits _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=A}$;

при этом

${\displaystyle dy=f^{\prime }(x)\Delta x}$.

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции.

Кроме обозначения ${\displaystyle dy}$ используется обозначение ${\displaystyle df(x)}$; тогда предыдущее равенство принимает вид

${\displaystyle df(x)=f^{\prime }(x)\Delta x}$.

Приращение аргумента ${\displaystyle \Delta x}$ обозначается также через ${\displaystyle dx}$ и называется дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать

${\displaystyle dy=f^{\prime }(x)dx}$.

Отсюда ${\displaystyle f^{\prime }(x)=dy/dx}$, т. е. производная равна отношению дифференциалов ${\displaystyle dy}$ и ${\displaystyle dx}$. Если ${\displaystyle A=0}$, то ${\displaystyle \Delta y/dy\rightarrow 1}$ при ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$, т. е. ${\displaystyle \Delta y}$ и ${\displaystyle dy}$ при ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ являются в случае ${\displaystyle A\neq 0}$ эквивалентными бесконечно малыми; этим, равно как и простой структурой дифференциала ${\displaystyle (}$линейностью по ${\displaystyle \Delta x)}$, часто пользуются в приближённых вычислениях, полагая ${\displaystyle \Delta y\approx dy}$ при малых ${\displaystyle \Delta x}$. Если хотят, например, вычислить ${\displaystyle f(x+\Delta x)}$, зная ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (\Delta x}$ мало${\displaystyle )}$, то полагают

${\displaystyle f(x+\Delta x)\approx f(x)+dy}$.

Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность.

Геометрическое истолкование дифференциала. Уравнение касательной к графику функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ имеет вид ${\displaystyle y-y_{0}=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})}$. Если положить ${\displaystyle x=x_{0}+\Delta x}$, то ${\displaystyle y-y_{0}=f^{\prime }(x_{0})\Delta x}$. Правая часть есть значение дифференциала функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, отвечающее рассматриваемому значению ${\displaystyle \Delta x}$. Таким образом, дифференциал совпадает с соответствующим приращением ординаты касательной к кривой ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (}$см. отрезок ${\displaystyle NT}$ на рис. 1${\displaystyle )}$. При этом ${\displaystyle \alpha =\Delta y-dy}$, т. е. значение ${\displaystyle |\alpha |}$ совпадает с длиной отрезка ${\displaystyle TS}$.

2) Определение дифференцируемости и дифференциала естественным образом обобщается на действительные функции от ${\displaystyle n}$ действительных переменных. Например, в случае ${\displaystyle n=2}$ действительная функция ${\displaystyle z=f(x,y)}$ называется дифференцируемой в точке ${\displaystyle (x,y)}$ по совокупности переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и её полное приращение

${\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}$

может быть представлено в виде

${\displaystyle \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha ,}$

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – некоторые числа, ${\displaystyle \alpha /\rho \rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \rho \rightarrow 0}$, ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}$; предполагается,

что точка ${\displaystyle (x+\Delta x,y+\Delta y)}$ принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2).

При этом вводится обозначение

${\displaystyle dz=df(x,y)=A\Delta x+B\Delta y}$

и ${\displaystyle dz}$ называется полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции ${\displaystyle f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (}$иногда с добавлением: «по совокупности переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$»${\displaystyle )}$.

Для фиксированной точки ${\displaystyle (x,y)}$ дифференциал ${\displaystyle dz}$ есть линейная функция от ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta y}$; разность ${\displaystyle \alpha =\Delta z-dz}$ есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с ${\displaystyle \rho }$. В этом смысле ${\displaystyle dz}$ есть главная линейная часть приращения ${\displaystyle \Delta z}$.

Если ${\displaystyle f(x,y)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle (x,y)}$, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные

${\displaystyle f_{x}^{\prime }(x,y)=A,\quad f_{y}^{\prime }(x,y)=B}$.

Таким образом,

${\displaystyle dz=df(x,y)=f_{x}^{\prime }(x,y)\Delta x+f_{y}^{\prime }(x,y)\Delta y}$.

Приращения ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta y}$ независимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаются ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle dy}$. По этой причине можно написать

${\displaystyle dz=df(x,y)=f_{x}^{\prime }(x,y)dx+f_{y}^{\prime }(x,y)dy}$.

Существование конечных частных производных, вообще говоря, не влечёт дифференцируемости функции (даже если предполагать заранее её непрерывность) – здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного.

Если функция ${\displaystyle f(x,y)}$ имеет в точке ${\displaystyle (x,y)}$ частную производную по ${\displaystyle x}$, то произведение ${\displaystyle f'_{x}(x,y)dx}$ называется её частным дифференциалом по ${\displaystyle x}$; аналогично, ${\displaystyle f'_{y}(x,y)dy}$ есть частный дифференциал по ${\displaystyle y}$. Если функция дифференцируема, то её полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов. Геометрически полный дифференциал ${\displaystyle df(x_{0},y_{0})}$ есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности ${\displaystyle z=f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, где ${\displaystyle z_{0}=f(x_{0},y_{0})}$ (см. рис. 3).

Достаточный признак дифференцируемости функции: если в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ функция ${\displaystyle f(x,y)}$ имеет частную производную ${\displaystyle f'_{x}}$, непрерывную в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, и, кроме того, имеет в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ частную производную ${\displaystyle f'_{y}}$, то ${\displaystyle f(x,y)}$ дифференцируема в этой точке.

Если функция ${\displaystyle f(x,y)}$ дифференцируема в каждой точке открытой области ${\displaystyle D}$, то в любой точке этой области

${\displaystyle dz=A(x,y)dx+B(x,y)dy,}$

причём ${\displaystyle A(x,y)=f_{x}^{\prime }(x,y)}$, ${\displaystyle B(x,y)=f_{y}^{\prime }(x,y)}$. Если при этом существуют непрерывные в ${\displaystyle D}$ частные производные ${\displaystyle A_{y}^{\prime }}$ и ${\displaystyle B_{x}^{\prime }}$, то всюду

${\displaystyle A_{y}^{\prime }=B_{x}^{\prime }}$.

Это показывает, в частности, что не всякое выражение

${\displaystyle A(x,y)dx+B(x,y)dy}$

с непрерывными ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (}$в области ${\displaystyle D)}$ является в этой области полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. В этом состоит ещё одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение ${\displaystyle A(x)dx}$ с непрерывной в некотором промежутке функцией ${\displaystyle A(x)}$ служит дифференциалом для некоторой функции.

Выражение ${\displaystyle Adx+Bdy}$ является полным дифференциалом некоторой функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$, в односвязной открытой области ${\displaystyle D}$, если ${\displaystyle A(x,y)}$ и ${\displaystyle B(x,y)}$ непрерывны в этой области и удовлетворяют условию ${\displaystyle A_{y}^{\prime }=B_{x}^{\prime }}$ и при этом

а) ${\displaystyle A_{y}^{\prime }}$ и ${\displaystyle B_{x}^{\prime }}$ непрерывны или

б) ${\displaystyle A(x,y)}$ и ${\displaystyle B(x,y)}$ дифференцируемы по совокупности переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ всюду в ${\displaystyle D}$ (Толстов. 1950^[1]; 1948^[2]).

О дифференциале действительных функций одного или нескольких действительных переменных и о дифференциалах высших порядков см. также Дифференциальное исчисление.

3) Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на некотором множестве ${\displaystyle E}$ действительных чисел, ${\displaystyle x}$ – предельная точка этого множества, ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle x+\Delta x\in E}$, ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha }$, где ${\displaystyle \alpha /\Delta x\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$; тогда функция ${\displaystyle f(x)}$ называется дифференцируемой по множеству ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x}$, a ${\displaystyle dy=A\Delta x}$ называется её дифференциалом по множеству ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x}$. Это есть обобщение дифференциала действительной функции одного действительного переменного. Разновидностями этого обобщения являются дифференциалы в концах промежутка, на котором определена функция, и аппроксимативный дифференциал.

Подобным же образом вводится дифференциал по множеству для действительных функций многих действительных переменных.

4) Все эти определения дифференцируемости и дифференциала почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и дифференциале функции множества по отношению к некоторой мере.