Уравнение Ланжевена

Уравне́ние Ланжеве́на, уравнение движения макроскопического тела, взаимодействующего с частицами термостата; их влияние учитывают при помощи согласованного включения в уравнение силы трения и случайной внешней силы. Если без учёта взаимодействия с термостатом уравнение движения имело вид

${\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}+grad\ U({\boldsymbol {r}},t)=0}$,

где ${\displaystyle m}$ – масса частицы, ${\displaystyle U}$ – потенциальная энергия, то соответствующее уравнение Ланжевена принимает форму

${\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}+h{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}+grad\ U({\boldsymbol {r}},t)={\boldsymbol {F}}(t)}$.

Здесь ${\displaystyle h{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}}$ – пропорциональная скорости ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=d{\boldsymbol {r}}/dt}$ сила трения, a ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)}$ – случайная сила. Последняя обусловлена одновременным воздействием на тело большого числа частиц термостата, поэтому с большой точностью её можно считать нормально распределённой. Среднее значение силы равно нулю, а корреляционная функция ${\displaystyle \langle F_{i}(t_{1})F_{j}(t_{2})\rangle =B_{ij}(t_{1}-t_{2})}$ зависит лишь от ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$. Если время корреляции ${\displaystyle \tau _{k}}$ внешней силы, совпадающее по порядку величины со временем одного соударения, ${\displaystyle \tau _{k}\ll m/h}$, то во всех соотношениях, содержащих лишь интегралы от корреляционной функции, её можно считать пропорциональной ${\displaystyle \delta }$-функции: ${\displaystyle B_{ij}(\tau )=2B\delta _{ij}\delta (\tau )}$.
Величина ${\displaystyle {\text{В}}}$ связана с коэффициентом трения ${\displaystyle h}$, т. к. и трение, и внешняя сила обусловлены взаимодействием тела с термостатом. Эту связь легче всего установить для свободного движения, ${\displaystyle U=0}$, тогда при ${\displaystyle t\gg m/h}$ имеют место соотношения

${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3B/mh,\langle r^{2}(t)\rangle =6Bt/h^{2}}$.

Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы следует, что ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3kT/m}$, где ${\displaystyle {\text{Т}}}$ – абсолютная температуpa, откуда ${\displaystyle {\text{В}}=kTh}$.

Это соотношение между интенсивностью случайной силы и коэффициентом трения является частным случаем флуктуационно-диссипативной теоремы. Формула для ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$ соответствует закону диффузии ${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =6Dt}$, откуда получаются связь ${\displaystyle B=Dh^{2}}$ между ${\displaystyle {\text{В}}}$, ${\displaystyle h}$ и коэффициентом диффузии ${\displaystyle D}$, а также соотношение Эйнштейна ${\displaystyle hD=kT}$ между коэффициентом трения и коэффициентом диффузии.

Например, при медленном равномерном движении сферической частицы радиуса ${\displaystyle {\text{а}}}$ в вязкой жидкости с коэффициентом динамической вязкости ${\displaystyle \eta }$ имеет место формула Стокса ${\displaystyle h=6\pi a\eta }$. Тогда для коэффициента диффузии этой частицы получаем формулу

${\displaystyle D=kT/6\pi a\eta }$.

Уравнение получено П. Ланжевеном (P. Langevin) в 1908 г. в теории броуновского движения, его используют для описания случайного воздействия на различные динамические системы, в кинетике фазовых переходов и др.