Дифференциальное уравнение с частными производными

Дифференциа́льное уравне́ние с ча́стными произво́дными, уравнение вида

${\displaystyle F(x,u,\ldots ,p_{i_{1}\dots i_{n}},\ldots )=0,}$ (1)

где ${\displaystyle F}$ – заданная действительная функция точки ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ некоторой области ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, и переменных

${\displaystyle p_{i_{1\cdots }i_{n}}={\frac {\partial ^{k}u}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$,

где ${\displaystyle u(x)}$ – неизвестная функция; неотрицательные индексы ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ таковы, что ${\displaystyle i_{1}+\ldots +i_{n}=k}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$, ${\displaystyle m\geqslant 1}$, и по крайней мере одна из производных функции

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial p_{i_{1}\ldots i_{n}}}},\quad i_{1}+\dots +i_{n}=m}$,

${\displaystyle F}$ отлична от нуля. Число ${\displaystyle m}$ называется порядком уравнения ${\displaystyle (1)}$.

Если ${\displaystyle F}$ – линейная функция переменных , то уравнение ${\displaystyle (1)}$ называется линейным. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{j=1}^{n}B_{j}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}+Cu=f,}$ (2)

где ${\displaystyle A_{ij},B_{j},C}$ и ${\displaystyle f}$ – заданные в области ${\displaystyle D}$ действительные функции точки ${\displaystyle x}$.

Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождение частного решения дифференциального уравнения с частными производными требует задания дополнительных условий, которым должно удовлетворять это решение. Такими дополнительными условиями обычно являются начальные условия, т. е. задание функции ${\displaystyle u(x,t)}$ при некотором значении ${\displaystyle t=t_{0}}$, или краевые условия, т. е. задание функции ${\displaystyle u(x,t)}$ на границе области ${\displaystyle D}$ или на части этой границы.

Например, общим решением уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$ (3)

является функция

${\displaystyle u(x,t)=f(x+t)+g(x-t)}$,

где ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ – произвольные достаточно гладкие функции. Таким образом, дифференциальное уравнение (3) ограничивает произвол в выборе функции ${\displaystyle u(x,t)}$ двух переменных лишь в той мере, что её удаётся выразить через две произвольные функции одного переменного.

Типичной задачей с начальными условиями для системы дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}=f_{i}(t;x_{1},\ldots ,x_{n};u_{1},\ldots ,u_{m})}$,

где независимыми переменными являются ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, а ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}}$ суть функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо ${\displaystyle t=t_{0}}$ значениям

${\displaystyle u_{i}(t_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=\phi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

найти функции ${\displaystyle u_{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n})}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,m}$.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными порядка выше первого и систем дифференциальных уравнений с частными производными рассматриваются как задачи Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет т. н. тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией ${\displaystyle z(x,y)}$ от двух переменных

${\displaystyle F(x,y,z,p,q,r,s,t)=0,}$ (4)

где

${\displaystyle p={\frac {\partial z}{\partial x}},\,\,q={\frac {\partial z}{\partial y}},\,\,r={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},\,\,s={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},\,\,t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}}$.

Если

${\displaystyle D=4{\frac {\partial F}{\partial r}}{\frac {\partial F}{\partial t}}-\left({\frac {\partial F}{\partial s}}\right)^{2}>0}$,

то уравнение ${\displaystyle (4)}$ называется эллиптическим. Примером может служить уравнение Лапласа

${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$.

Если ${\displaystyle D<0}$, то уравнение ${\displaystyle (4)}$ называется гиперболическим. Примером может служить уравнение колебаний струны

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

Если ${\displaystyle D=0}$, то уравнение ${\displaystyle (4)}$ называется параболическим. Примером может служить уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

О краевых задачах для этих типов уравнений см. Уравнения математической физики. Для построения приближённых решений дифференциальных уравнений с частными производными часто применяется метод конечных разностей.