Общее решение

О́бщее реше́ние системы обыкновенных дифференциальных уравнений ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle x'=f(t,x),\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n},\qquad \qquad \qquad (1)}$

в области ${\displaystyle G}$ – гладкое по ${\displaystyle t}$ и непрерывное по совокупности параметров ${\displaystyle n}$-параметрическое семейство вектор-функций ${\displaystyle x=\phi (t,C_{1},\ldots ,C_{n})}$,

${\displaystyle (C_{1},\ldots ,C_{n})\in C\subset \mathbf {R} ^{n},\qquad \qquad \qquad (2)}$

откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график которого проходит в области ${\displaystyle G\subset D}$; здесь ${\displaystyle D\subset R^{n+1}}$ – область, где выполнены условия существования и единственности решения для системы ${\displaystyle (1)}$. (Иногда предполагается, что параметры могут принимать и значения ${\displaystyle \pm \infty }$.) Геометрически общее решение системы ${\displaystyle (1)}$ в области ${\displaystyle G}$ представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающее эту область.

Общее решение системы ${\displaystyle (1)}$в области ${\displaystyle G}$ позволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием ${\displaystyle x(t_{0})=x^{0}}$, ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in G}$: нужно из системы ${\displaystyle n}$ равенств ${\displaystyle x_{0}=\phi (t_{0},C_{1},\ldots ,C_{n})}$ определить значения ${\displaystyle n}$ параметров ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}}$ и подставить эти значения в ${\displaystyle (2)}$. Если ${\displaystyle x=\psi (t,t_{0},x_{0})}$ – решение системы ${\displaystyle (1)}$, удовлетворяющее условию ${\displaystyle x(t_{0})=x^{0}}$, ${\displaystyle (t_{0},x^{0})\in D}$, то ${\displaystyle n}$-параметрическое семейство

${\displaystyle x=\psi (t,t_{0},x_{1}^{0},\ldots ,x_{1}^{0})}$,

где ${\displaystyle t_{0}}$ – фиксированное число, а ${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}}$ рассматриваются как параметры, является общим решением системы ${\displaystyle (1)}$ в некоторой области ${\displaystyle G\subset D}$ и называется общим решением в форме Коши. Знание общего решения позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из ${\displaystyle n}$ соотношений ${\displaystyle (2)}$ и из ${\displaystyle n}$ соотношений, получающихся дифференцированием соотношений ${\displaystyle (2)}$ по ${\displaystyle t}$, исключить ${\displaystyle n}$ параметров ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}}$.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})\qquad \qquad \qquad (3)}$

Общее решение в области ${\displaystyle G}$ имеет вид ${\displaystyle n}$-параметрического семейства функций

${\displaystyle y=\phi (x,C_{1},\ldots ,C_{n}),\quad (C_{1},\ldots ,C_{n})\in C\subset \mathbf {R} _{n},\qquad \qquad \qquad (4)}$

из которого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0},y\prime (x_{0})=y_{0}\prime ,\ldots ,y^{(n-1)},\quad (x_{0},y_{0},y'_{0},\ldots ,y_{0}^{(n-1)})\in G\subset D}$;

здесь ${\displaystyle D\subset R^{n+1}}$ – область, где выполнены условия существования и единственности решения для уравнения ${\displaystyle (3)}$.

Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях параметров, называется частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в некоторой области, не всегда удаётся выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции – и тогда оно называется общим интегралом – или в параметрическом виде.

Если конкретное дифференциальное уравнение ${\displaystyle (3)}$ допускает интегрирование в замкнутой форме, т. е. его решение можно представить в виде явной аналитической формулы, то часто удаётся получить соотношение типа ${\displaystyle (4)}$, где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. Поэтому часто говорят, что общее решение уравнения ${\displaystyle n}$-го порядка содержит ${\displaystyle n}$ произвольных постоянных. Однако такое соотношение далеко не всегда есть общее решение во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.