Ветвящийся процесс

Ветвя́щийся проце́сс, случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов (например, частиц в физике, молекул в химии, особей какой-либо популяции в биологии и т. п.). Основным математическим предположением, выделяющим класс ветвящихся процессов, является предположение независимости размножения частиц друг от друга.

Однородный во времени ветвящийся процесс ${\displaystyle \mu (t)}$ с однотипными частицами определяется как марковский процесс со счётным числом состояний ${\displaystyle 0,1,2\ldots }$, переходные вероятности ${\displaystyle P_{ij}(t)}$ которого удовлетворяют дополнительному условию ветвления:

${\displaystyle P_{ij}(t)=\ \sum _{j_{1}+\ldots +j_{i}=j}P_{1j_{1}}(t)P_{1j_{2}}(t)\ldots P_{1j_{i}}(t)}$ (1).

Состояния ${\displaystyle 0,1,2\ldots }$ в ветвящемся процессе интерпретируются как числа частиц. Вероятность ${\displaystyle P_{ij}(t)}$ равна вероятности

${\displaystyle {\mathsf {P}}}{\bigl \{}\mu (t+t_{0})=j\mid \mu (t_{0})=i{\bigr \}}$

того, что ${\displaystyle i}$ частиц за время ${\displaystyle t}$ превращаются в ${\displaystyle j}$ частиц. Основным аналитическим аппаратом ветвящихся процессов являются производящие функции

${\displaystyle F(t;s)=\ \sum _{n=0}^{\infty }{\mathsf {P}}\{\mu (t)=n\mid \mu (0)=1\}\,s^{n}}$ (2).

Из условия ветвления (1) вытекает равенство

${\displaystyle F(t+\tau ;s)=F(t;F(\tau ;s))}$ (3).

В ветвящемся процессе с дискретным временем ${\displaystyle t}$ принимает целые неотрицательные значения и из (3) следует, что ${\displaystyle F(t;s)}$ есть ${\displaystyle t}$-кратная итерация функции ${\displaystyle F(s)=F(1;s)}$. Такой процесс иногда называется процессом Гальтона – Ватсона. В ветвящемся процессе с непрерывным временем предполагается, что ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$ и существует правая производная

${\displaystyle \left.{\frac {\partial F(t;s)}{\partial t}}\right|_{t=0}=f(s)}$.

Из (3) следует, что ${\displaystyle F(t;s)}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial F(t;s)}{\partial t}}=f(F(t;s))}$ (4)

и начальному условию ${\displaystyle F(0;s)=s}$.

Если ${\displaystyle A=F^{\prime }(1)}$ и ${\displaystyle a=f^{\prime }(1)}$ конечны, то математическое ожидание ${\displaystyle {\mathsf {E}}\mu (t)}$ числа частиц ${\displaystyle \mu (t)}$ [при условии ${\displaystyle \mu (0)=1}$] равно ${\displaystyle A^{t}}$ для ветвящегося процесса с дискретным временем и равно ${\displaystyle e^{at}}$ для ветвящегося процесса с непрерывным временем. В зависимости от значения параметров ${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle a}$ ветвящиеся процессы подразделяются на докритические (${\displaystyle A<1}$, ${\displaystyle a<0}$), критические (${\displaystyle A=1}$, ${\displaystyle a=0}$) и надкритические (${\displaystyle A>1}$, ${\displaystyle a>0}$). Основным свойством, определяющим эту классификацию, является поведение ${\displaystyle {\mathsf {E}}\mu (t)}$ при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$.

Ниже исключаются из рассмотрения тривиальные случаи ${\displaystyle F(s)\equiv s}$ и ${\displaystyle f(s)\equiv 0}$ , когда

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\bigl \{}\mu (t)=1\mid \mu (0)=1{\bigr \}}\equiv 1}$.

Вероятность вырождения равна ${\displaystyle 1}$ в докритическом и критическом ветвящихся процессах и меньше ${\displaystyle 1}$ в надкритическом ветвящемся процессе. Если ${\displaystyle {\mathsf {E}}\mu (t)\cdot \ln \mu (t)<\infty }$ , то в докритическом ветвящемся процессе вероятность продолжения процесса ${\displaystyle {\mathsf {P}}}\{\mu (t)>0\}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$ асимптотически ведёт себя как ${\displaystyle K{\mathsf {E}}\mu (t)}$, где ${\displaystyle K}$ – положительная константа. В критическом ветвящемся процессе с конечным ${\displaystyle {\mathsf {E}}\mu ^{2}(t)}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$ имеет место асимптотика

${\displaystyle {\mathsf {P}}}{\bigl \{}\mu (t)>0{\bigr \}}\approx {\frac {2}{{\mathsf {D}}\mu (t)}}$,

где ${\displaystyle {\mathsf {D}}\mu (t)=Bt}$ в ветвящемся процессе с дискретным временем и ${\displaystyle {\mathsf {D}}\mu (t)=bt}$ в ветвящемся процессе с непрерывным временем, ${\displaystyle B=F^{\prime \prime }(1)}$, ${\displaystyle b=f^{\prime \prime }(1)}$. Более детальное изучение асимптотического поведения распределения ${\displaystyle \mu (t)}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$ показывает, что условный закон распределения

${\displaystyle S_{t}(x)={\mathsf {P}}\left\{{\frac {\mu (t)}{{\mathsf {E}}\{\mu (t)\mid \mu (t)>0\}}}\leqslant x\mid \mu (t)>0\right\}}$ (5)

при ${\displaystyle t\to \infty }$ слабо сходится к предельному распределению ${\displaystyle S(x)}$, если конечны некоторые моменты ${\displaystyle \mu (t)}$. В докритическом ветвящемся процессе предельный закон ${\displaystyle S(x)}$ дискретен, а в остальных случаях абсолютно непрерывен. Особенно интересен случай критического ветвящегося процесса, для которого предельный закон ${\displaystyle S(x)}$ показательный:

${\displaystyle S(x)=1-e^{-x},\ x\geqslant 0}$ (6).

Распределение (6) является предельным также и для ветвящихся процессов, близких к критическим. Точнее, если рассматривать класс производящих функций ${\displaystyle F(s)}$ или ${\displaystyle f(s)}$ с ограниченной 3-й производной ${\displaystyle F^{\prime \prime \prime }(1)}$, ${\displaystyle f^{\prime \prime \prime }(1)}$ и с ${\displaystyle F^{\prime \prime }(1)\geqslant B_{0}>0}$, ${\displaystyle f^{\prime \prime }(1)\geqslant b_{0}>0}$, то

${\displaystyle \lim \limits _{\begin{smallmatrix}t\to \infty \\A\to 1\end{smallmatrix}}S_{t}(x)=1-e^{-x},\,\,\,\,x\geqslant 0}$,

где ${\displaystyle S_{t}(x)}$ определяется формулой (5). Явления, возникающие при ${\displaystyle t\to \infty }$ в ветвящихся процессах, близких к критическим, называются переходными.

Другой моделью ветвящегося процесса является процесс Беллмана – Харриса, в котором каждая частица имеет случайное время жизни с функцией распределения ${\displaystyle G(t)}$. В конце жизни частица оставляет потомство численности ${\displaystyle n}$ с вероятностью ${\displaystyle q_{n}}$,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q_{n}=1}$.

Времена жизни и численности потомства разных частиц независимы. Пусть в начальный момент ${\displaystyle t=0}$ была одна частица нулевого возраста. Тогда производящая функция ${\displaystyle F(t;s)}$ числа частиц ${\displaystyle \mu (t)}$ в момент ${\displaystyle t}$, определяемая формулой (2), удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению

${\displaystyle F(t;s)=\ \int \limits _{0}^{t}h(F(t-u;s))\,dG(u)+s(1-G(t))}$ (7),

где

${\displaystyle h(s)=\ \sum _{n=0}^{\infty }q_{n}s^{n}}$.

В частном случае, когда ${\displaystyle G(t)}$ – вырожденная функция распределения, процесс Беллмана – Харриса есть ветвящийся процесс с дискретным временем; когда же ${\displaystyle G(t)}$ – показательная функция распределения, получается ветвящийся процесс с непрерывным временем. В общем случае процесс Беллмана – Харриса – это немарковский ветвящийся процесс.

Другое усложнение ветвящихся процессов связано с зависимостью частиц от положения в пространстве. Пусть, например, частицы независимо друг от друга совершают броуновское движение в ${\displaystyle r}$-мерной области ${\displaystyle G}$ с поглощающей границей ${\displaystyle \partial G}$. Частица, находящаяся внутри области ${\displaystyle G}$, за время ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ с вероятностью

${\displaystyle p_{n}\Delta t+o(\Delta t),\ \ \ \ n\neq 1}$,

превращается в ${\displaystyle n}$ частиц, которые начинают независимо друг от друга блуждать по броуновским траекториям из точки их рождения. Пусть ${\displaystyle \mu _{xt}(A)}$ равно числу частиц в множестве ${\displaystyle A}$ в момент ${\displaystyle t}$, если в начальный момент ${\displaystyle 0}$ была одна частица в точке ${\displaystyle x\in G}$. Производящий функционал

${\displaystyle H(t,x,s({\cdot }))={\mathsf {E}}\exp {\biggl [}\,\int \limits _{G}\ln s(y)\mu _{xt}\,(dy){\biggr ]}}$

удовлетворяет квазилинейному параболическому уравнению

${\displaystyle \Delta H+f(H)=0}$ (8)

с начальным условием ${\displaystyle H(0,x,s({\cdot }))=s(x)}$ и граничным условием ${\displaystyle {\bigl .}H(t,x,s({\cdot })){\bigr |}_{x\to \partial G}=0}$, где ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={\sum _{i=1}^{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}\end{aligned}}}$ – оператор Лапласа, a ${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)={\sum _{n}}p_{n}s^{n}\end{aligned}}}$, ${\displaystyle {\begin{aligned}\ p_{1}=-\sum _{n\neq 1}p_{n}\end{aligned}}}$.

В общем случае ветвящихся процессов предполагается, что размножающиеся частицы характеризуются какими-либо параметрами, которые можно интерпретировать как возраст, положение частицы в пространстве, тип, размер или энергию частицы и т. п. Изучение таких процессов ведётся с помощью производящих функций или функционалов, для которых выводятся нелинейные дифференциальные или интегральные уравнения, обобщающие уравнения (4), (7), (8). Можно дать следующее общее описание таких моделей ветвящихся процессов. Пусть в некотором фазовом пространстве ${\displaystyle X}$ независимо друг от друга по закону марковского процесса блуждают частицы. Предполагается, что случайное время жизни частицы есть марковский момент, зависящий от её траектории. В конце своей жизни частица производит новые частицы, которые по какому-либо вероятностному закону распределяются по фазовому пространству ${\displaystyle X}$. Новые частицы эволюционируют независимо друг от друга аналогичным образом. В пространстве целочисленных мер, определяемых численностями частиц в подмножествах ${\displaystyle X}$, так построенный ветвящийся процесс является марковским. Однако ветвящиеся процессы часто рассматриваются в более простых редуцированных пространствах. В этом случае многие из них становятся немарковскими.

В большей части приведённых выше моделей сохраняет смысл подразделение процессов на докритические, критические и надкритические ветвящиеся процессы. При этом в более сложной обстановке сохраняются многие свойства, установленные для простых ветвящихся процессов, описываемых уравнением (4). В частности, в критических процессах, как правило, в качестве предельного распределения для (5) (при соответствующей нормировке) возникает показательное распределение (6).

Ветвящиеся процессы находят применение при расчётах различных реальных биологических, генетических, физических, химических или технических процессов. В реальных процессах часто нарушается условие независимости размножения различных частиц и, наоборот, при размножении имеется взаимодействие частиц. Так обстоит дело во многих биологических процессах размножения, в процессах распространения эпидемий, в бимолекулярных химических реакциях и т. п. Однако начальные стадии развития таких процессов можно рассчитывать с помощью соответственно подобранных моделей ветвящихся процессов. Это делается в тех случаях, когда в среде имеется не очень много активных частиц, которые при малых концентрациях почти не встречаются друг с другом, а изменения состояния системы происходят при встречах этих активных частиц с частицами среды. В процессах эпидемии, например, такими «активными частицами» можно считать больных индивидуумов. В генетике с помощью ветвящихся процессов можно рассчитывать, например, явления, связанные с мутациями. Ветвящийся процесс с конечным числом типов частиц может служить моделью при расчётах цепных реакций; ветвящийся процесс с диффузией частиц – моделью нейтронных процессов в ядерных реакторах. Явления, возникающие в ливнях космических лучей, также могут изучаться с помощью ветвящихся процессов. В телефонии расчёт некоторых систем с ожиданием сводится к моделям ветвящихся процессов.