Асимптотическое значение

Асимптоти́ческое значе́ние, предельное значение вдоль некоторого пути. Точнее, комплексное число ${\displaystyle \alpha }$ или ${\displaystyle \alpha =\infty }$ называется асимптотическим значением функции ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$ в точке ${\displaystyle a}$ замыкания ${\displaystyle {\overline {D}}}$ области определения ${\displaystyle D}$, если существует путь ${\displaystyle L:z=z(t)}$, ${\displaystyle 0\leq t<1}$, ${\displaystyle L\subset D}$, оканчивающийся в точке ${\displaystyle a}$,

${\displaystyle {\underset {t\to 1-0}{\rm {lim}}}\ z(t)=a}$,

вдоль которого

${\displaystyle {\underset {z\to a}{\rm {lim}}}\ f(z)=\alpha ,\quad z\in L}$.

Например, функция ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ в точке ${\displaystyle a=\infty }$ имеет асимптотические значения ${\displaystyle \alpha _{1}=0}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}=\infty }$ соответственно вдоль путей ${\displaystyle L_{1}:z=-t}$, ${\displaystyle 0\leq t<+\infty }$, и ${\displaystyle L_{2}:z=t}$, ${\displaystyle 0\leq t<+\infty }$. Множества асимптотических значений играют важную роль в теории предельных множеств.

Если ${\displaystyle f(z)}$ имеет в ${\displaystyle a}$ два различных асимптотических значения, то ${\displaystyle a}$ называется точкой неопределённости функции ${\displaystyle f(z)}$. Для произвольной функции ${\displaystyle f(z)}$, определённой в плоской односвязной области, множество её точек неопределённости не более чем счётно.

Данное выше определение асимптотического значения относится к точечным асимптотическим значениям. Если кривая ${\displaystyle L}$ имеет в качестве предельного множества не одну точку ${\displaystyle a\in \partial D}$, а некоторое множество ${\displaystyle E\subset \partial D}$, то говорят также об асимптотическом значении ${\displaystyle A(f,E)}$, связанном с ${\displaystyle E}$.