Итерация

Итера́ция, результат многократного применения какой-либо математической операции. Так, если ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)}$ – некоторая функция от ${\displaystyle x}$, отображающая область определения ${\displaystyle f(x)}$ в себя, то функции ${\displaystyle f_{2}(x)=f(f_{1}(x))}$, ${\displaystyle f_{3}(x)=f(f_{2}(x)),\ldots ,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=f(f_{n-1}(x))}$ называются соответственно 2-й, 3-й, …, ${\displaystyle n}$-й итерациями функции ${\displaystyle f(x)}$. Например, полагая ${\displaystyle f(x)=x^{\alpha }}$, ${\displaystyle x>0}$, получают ${\displaystyle f_{2}(x)=(x^{\alpha })^{\alpha }=x^{\alpha ^{2}}}$, ${\displaystyle f_{3}(x)=(x^{{\alpha ^{2}})^{\alpha }}=x^{\alpha ^{3}}}$,..., ${\displaystyle f_{n}(x)=(x^{\alpha ^{n-1}})^{\alpha }=x^{\alpha ^{n}}}$. Индекс ${\displaystyle n}$ называется показателем итерации, а переход от функции ${\displaystyle f(x)}$ к функциям ${\displaystyle f_{2}(x)}$, ${\displaystyle f_{3}(x)}$, ... – итерированием.

Итерации используются при решении различного рода уравнений и систем уравнений (см., например, Метод последовательных приближений); в частности, они играют важную роль в теории интегральных уравнений.