Показательное распределение

Показа́тельное распределе́ние (экспоненциальное распределение), распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, заданное плотностью вероятности

${\displaystyle p(x)=0,x<0,p(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geqslant 0,}$

где ${\displaystyle \lambda >0}$ – параметр. Вероятность того, что случайная величина ${\displaystyle X}$, имеющая показательное распределение, примет значение, превосходящее некоторое число ${\displaystyle x>0}$, равна ${\displaystyle e^{-\lambda x}}$. Математическое ожидание и дисперсия такой случайной величины суть ${\displaystyle 1/\lambda }$ и ${\displaystyle 1/\lambda ^{2}}$ соответственно.

Показательное распределение является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ выполняется равенство

${\displaystyle {\mathsf {P}}\left\{X>x+y\right\}={\mathsf {P}}\left\{X>x\right\}{\mathsf {P}}\left\{X>y\right\}}$

(т. н. отсутствие последействия). Этим характеристическим свойством в значительной мере объясняется, например, та роль, которую показательное распределение играет в задачах теории массового обслуживания, где во многих случаях предположение о показательном распределении времени обслуживания является довольно естественным. Показательное распределение тесно связано с понятием пуассоновского процесса, для которого промежутки времени между последовательными событиями суть независимые случайные величины, имеющие показательное распределение; при этом ${\displaystyle \lambda }$ равно среднему числу событий в единицу времени.