Аналитическая геометрия

Аналити́ческая геоме́трия, раздел геометрии, в котором геометрические объекты (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.

Возникновение в 17 в. метода координат связано с развитием астрономии, механики и техники. Изложение этого метода и основ аналитической геометрии было дано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. В. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами аналитической геометрии пользовался Ж. Л. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Долгое время для аналитической геометрии было принято название «декартова геометрия», которое ввёл И. Бернулли (1692).

Сущность метода координат заключается в следующем. Пусть на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$ (рис. 1).

Эти прямые с указанием направления, начала координат ${\displaystyle O}$ и масштабной единицы образуют т. н. декартову систему координат ${\displaystyle Oxy}$ на плоскости. Прямые ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$ называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки ${\displaystyle M}$ на плоскости по отношению к этой системе ${\displaystyle Oxy}$ можно определить следующим образом. Пусть ${\displaystyle M_{x}}$ и ${\displaystyle M_{y}}$ – проекции ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$, а числа ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ – величины отрезков ${\displaystyle OM_{x}}$ и ${\displaystyle OM_{y}}$; величина ${\displaystyle x}$ отрезка ${\displaystyle OM_{x}}$ равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от ${\displaystyle O}$ к ${\displaystyle M_{x}}$ совпадает с направлением на прямой ${\displaystyle Ox}$, и со знаком минус в противоположном случае, величина ${\displaystyle y}$ определяется аналогично. Числа ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ называются декартовыми прямоугольными координатами (прямоугольными координатами, декартовыми координатами) точки ${\displaystyle M}$ в системе ${\displaystyle Oxy}$. Обычно ${\displaystyle x}$ называется абсциссой, а ${\displaystyle y}$ – ординатой точки ${\displaystyle M}$. Для обозначения точки ${\displaystyle M}$ с абсциссой ${\displaystyle x}$ и ординатой ${\displaystyle y}$ пользуются символом ${\displaystyle M(x,y)}$ или ${\displaystyle (x,y)}$. Координаты точки ${\displaystyle M}$ определяют её положение относительно системы ${\displaystyle Oxy}$.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат ${\displaystyle Oxy}$ задана некоторая линия ${\displaystyle L}$. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения линии ${\displaystyle L}$ относительно системы ${\displaystyle Oxy}$ как соотношения вида ${\displaystyle F(x,y)=0}$, которому удовлетворяют координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ любой точки ${\displaystyle M}$, расположенной на ${\displaystyle L}$, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ${\displaystyle L}$. Если, например, линия ${\displaystyle L}$ является окружностью радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат ${\displaystyle O}$, то уравнение ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-r^{2}=0}$ является уравнением рассматриваемой окружности (рис. 2).

Если точка ${\displaystyle M}$ лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника ${\displaystyle OMM_{x}}$ справедливо равенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-r^{2}=0}$. Если же точка не лежит на окружности, то ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-r^{2}\neq 0}$.

Основная идея метода координат состоит в том, что геометрические свойства линии ${\displaystyle L}$ исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой линии аналитическими и алгебраическими средствами. Например, для нахождения числа точек пересечения окружности ${\displaystyle C}$ радиуса ${\displaystyle r}$ и данной прямой линии ${\displaystyle b}$ (рис. 3) метод координат применяется следующим образом.

Систему координат ${\displaystyle Oxy}$ выбирают так, чтобы её начало находилось в центре окружности, а ось ${\displaystyle Ox}$ была направлена перпендикулярно прямой ${\displaystyle b}$. Так как прямая ${\displaystyle b}$ перпендикулярна оси ${\displaystyle Ox}$, абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной ${\displaystyle a}$, т. е. уравнение прямой имеет вид ${\displaystyle x-a=0}$. Координаты ${\displaystyle (x,y)}$ любой точки пересечения окружности ${\displaystyle C}$ (уравнение которой имеет вид ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-r^{2}=0}$) и прямой ${\displaystyle b}$ удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-r^{2}=0,\,\ \ \ \ x-a=0.\,}$ (1)

Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений системы алгебраических уравнений ${\displaystyle (1)}$. Решая эту систему, получают

${\displaystyle x=a,\,\ \ \ \ y=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}};}$

таким образом, окружность и прямая пересекаются в двух точках при ${\displaystyle r^{2}>a^{2}}$ (этот случай изображён на рис. 3), имеют одну общую точку при ${\displaystyle r^{2}=a^{2}}$ (в этом случае прямая ${\displaystyle b}$ касается окружности ${\displaystyle C}$) и не имеют общих точек при ${\displaystyle r^{2}<a^{2}}$.

В аналитической геометрии на плоскости исследуются т. н. алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями 1-й и 2-й степеней. На плоскости линии 1-го порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением 1-й степени

${\displaystyle Ax+By+C=0}$,

линии 2-го порядка определяются уравнениями вида

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$,

где ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}$ – некоторые числа.

Для исследования и классификации линий 2-го порядка вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О линиях 2-го порядка см. в статьях Гипербола, Конические сечения, Парабола, Эллипс.

В пространстве прямоугольные координаты ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ (соответственно абсцисса, ордината и аппликата) точки ${\displaystyle M}$ вводятся по аналогии с плоским случаем (рис. 4).

Каждой поверхности ${\displaystyle S}$ в пространстве можно сопоставить её уравнение ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ относительно системы координат ${\displaystyle Oxyz}$. Например, уравнение сферы радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат имеет вид

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$.

Геометрические свойства поверхности ${\displaystyle S}$ исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой поверхности аналитическими и алгебраическими средствами. Линию ${\displaystyle L}$ в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$. Если ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0}$ и ${\displaystyle F_{2}(x,y,z)=0}$ – уравнения поверхностей ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии ${\displaystyle L}$. Например, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскости в пространстве определяются уравнениями вида

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$,

то прямую можно задать парой уравнений такого вида, рассматриваемых совместно. Таким образом, метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Алгебраическими поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Mz+N=0}$,

где ${\displaystyle A,B,\ \ldots ,N}$ – некоторые числа. Так же как в случае плоскости, для исследования и классификации этих поверхностей вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О поверхностях 2-го порядка см. в статьях Гиперболоид, Параболоид, Эллипсоид.

В аналитической геометрии эффективно используется векторная алгебра. Естественное обобщение аналитической геометрии на случай многомерных векторных пространств составляет особый раздел математики – линейную алгебру.