Линии второго порядка

Ли́нии второ́го поря́дка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-го порядка с действительными коэффициентами

${\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x++2a_{23}y+a_{3}3=0}$,

где хотя бы одно из чисел ${\displaystyle a_{11}}$, ${\displaystyle a_{12}}$ и ${\displaystyle a_{22}}$ не равно нулю.

Это уравнение может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую линию 2-го порядка. Уравнение линий 2-го порядка может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 (в зависимости от значений коэффициентов) приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий 2-го порядка. Выделяются следующие нераспадающиеся линии: эллипсы

${\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$,

гиперболы

${\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$,

параболы ${\displaystyle y^{2}=2px}$, мнимые эллипсы

${\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$,

а также распадающиеся линии: пары пересекающихся прямых

${\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$,

пары мнимых пересекающихся прямых

${\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$,

пары параллельных прямых ${\displaystyle x^{2}-{\text{а}}^{2}=0}$, пары мнимых параллельных прямых ${\displaystyle x^{2}+{\text{а}}^{2}=0}$, пара совпадающих параллельных прямых ${\displaystyle x^{2}=0}$; здесь ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle p}$ – действительные числа, не равные нулю.

Исследование линий 2-го порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Для этого вводятся т. н. инварианты линий 2-го порядка – выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения линий 2-го порядка, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат (ниже ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$),

${\displaystyle \Delta ={\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}},\;\delta ={\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}},\;S=a_{11}+a_{22}}$.

Например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них ${\displaystyle \Delta \neq 0}$; положительное значение инварианта ${\displaystyle \delta }$ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол ${\displaystyle \delta <0}$, для парабол ${\displaystyle \delta =0}$). Различить случаи действительного или мнимого эллипса позволяет сопоставление знаков инвариантов ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle S}$: если ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle S}$ разных знаков, то эллипс действительный, если ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle S}$ одного знака, то эллипс мнимый.

Три основных инварианта ${\displaystyle \Delta }$, ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle S}$ определяют линии 2-го порядка (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты ${\displaystyle \Delta }$, ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle S}$ двух линий совпадают, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости.

Существуют классификации линий 2-го порядка с использованием других групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, группы аффинных преобразований эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные линии 2-го порядка являются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами линий 2-го порядка позволяет установить классификация с использованием проективной геометрии.

Кроме аналитического способа определения линий 2-го порядка (с помощью уравнения), существуют и другие способы. Например, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью – конические сечения.