Алгебраически замкнутое поле

Алгебраи́чески за́мкнутое по́ле, поле ${\displaystyle k}$, в котором всякий многочлен ненулевой степени над ${\displaystyle k}$ имеет хотя бы один корень. В действительности из алгебраической замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle k}$ имеет в ${\displaystyle k}$ ровно ${\displaystyle n}$ корней, т. е. каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов ${\displaystyle k[x]}$ имеет степень ${\displaystyle 1}$. Поле ${\displaystyle k}$ алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраического расширения. Существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраическое расширение поля ${\displaystyle k}$, являющееся алгебраически замкнутым полем; оно называется алгебраическим замыканием noля ${\displaystyle k}$ и обычно обозначается через ${\displaystyle {\overline {k}}}$. Всякое алгебраически замкнутое поле, содержащее ${\displaystyle k}$, содержит подполе, изоморфное ${\displaystyle {\overline {k}}}$.

Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.