Расширение поля в математике

Расшире́ние по́ля в математике, поле, содержащее данное поле в качестве подполя. Запись ${\displaystyle K/k}$ означает: ${\displaystyle K}$ – расширение поля ${\displaystyle k}$. Поле ${\displaystyle K}$ в этом случае называется также надполем поля ${\displaystyle k}$.

Пусть ${\displaystyle K/k}$ и ${\displaystyle L/k}$ – два расширения поля ${\displaystyle k}$. Изоморфизм полей ${\displaystyle \varphi \colon K\to L}$ называется изоморфизмом расширений (или ${\displaystyle k}$-изоморфизмом полей), если ${\displaystyle \varphi }$ тождествен на ${\displaystyle k}$. Если изоморфизм расширений существует, то расширения называются изоморфными. В случае ${\displaystyle K=L}$ изоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ называется автоморфизмом расширения ${\displaystyle K/k}$. Множество всех автоморфизмов расширения образует группу ${\displaystyle G(K/k)=\mathop {\mathrm {Aut} } (K/k)}$, называемую группой Галуа поля ${\displaystyle K}$ относительно ${\displaystyle k}$, или группой Галуа расширения ${\displaystyle K/k}$. Расширение называется абелевым, если эта группа абелева.

Элемент поля ${\displaystyle \alpha }$ называется алгебраическим над ${\displaystyle k}$, если он удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с коэффициентами из поля ${\displaystyle k}$, и трансцендентным – в противном случае. Для каждого алгебраического элемента ${\displaystyle \alpha }$ существует единственный многочлен ${\displaystyle f_{\alpha }(x)}$ со старшим коэффициентом, равным ${\displaystyle 1}$, неприводимый в кольце многочленов ${\displaystyle k[x]}$ и такой, что ${\displaystyle f_{\alpha }(\alpha )=0}$, и всякий многочлен над ${\displaystyle k}$, корнем которого является элемент ${\displaystyle \alpha }$, делится на ${\displaystyle f_{\alpha }(x)}$. Этот многочлен называется минимальным многочленом элемента ${\displaystyle \alpha }$. Расширение ${\displaystyle K/k}$ называется алгебраическим, если всякий элемент из ${\displaystyle K}$ алгебраичен над ${\displaystyle k}$. Расширение, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Расширение называется нормальным, если оно алгебраическое и всякий неприводимый в ${\displaystyle k}$ многочлен, обладающий корнем в ${\displaystyle K}$, разлагается в ${\displaystyle K[x]}$ на линейные множители. Подполе ${\displaystyle k}$ называется алгебраически замкнутым в ${\displaystyle K}$, если каждый алгебраический над ${\displaystyle k}$ элемент из ${\displaystyle K}$ на самом деле лежит в ${\displaystyle k}$, т. е. всякий элемент из ${\displaystyle K/k}$ трансцендентен над ${\displaystyle k}$. Поле, алгебраически замкнутое в любом своём расширении, является алгебраически замкнутым полем.

Расширение ${\displaystyle K/k}$ называется конечно порождённым (или расширением конечного типа), если в ${\displaystyle K}$ существует такое конечное подмножество элементов ${\displaystyle S}$, что ${\displaystyle K}$ совпадает с наименьшим подполем, содержащим ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle k}$. В этом случае говорят, что ${\displaystyle K}$ порождается множеством ${\displaystyle S}$ над ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle K}$ может быть порождено над ${\displaystyle k}$ множеством из одного элемента ${\displaystyle \alpha }$, то расширение называется простым и обозначается ${\displaystyle K=k(\alpha )}$. Простое алгебраическое расширение ${\displaystyle k(\alpha )}$ полностью определяется минимальным многочленом ${\displaystyle f_{\alpha }}$ порождающего элемента ${\displaystyle \alpha }$. Точнее, если ${\displaystyle k(\beta )}$ – другое простое алгебраическое расширение и ${\displaystyle f_{\alpha }=f_{\beta }}$, то существует изоморфизм расширений ${\displaystyle k(\alpha )\to k(\beta )}$, переводящий ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle \beta }$. Далее, для любого неприводимого многочлена ${\displaystyle f\in k[x]}$ существует простое алгебраическое расширение ${\displaystyle k(\alpha )}$ с минимальным многочленом ${\displaystyle f_{\alpha }=f}$. Оно может быть построено как факторкольцо ${\displaystyle k[x]/fk[x]}$. С другой стороны, для всякого простого трансцендентного расширения ${\displaystyle k(\alpha )}$ существует изоморфизм расширений ${\displaystyle k(\alpha )\to k(\beta )}$, где ${\displaystyle k(x)}$ – поле рациональных функций от ${\displaystyle x}$ над ${\displaystyle k}$. Любое расширение конечного типа может быть получено с помощью конечной цепочки простых расширений.

Расширение ${\displaystyle K/k}$ называется конечным, если ${\displaystyle K}$ как алгебра конечномерна над полем ${\displaystyle k}$, и бесконечным, если эта алгебра бесконечномерна. Размерность этой алгебры называется степенью расширения ${\displaystyle K/k}$ и обозначается ${\displaystyle [K:k]}$. Каждое конечное расширение является алгебраическим и каждое алгебраическое расширение конечного типа – конечным. Степень простого алгебраического расширения совпадает со степенью соответствующего минимального многочлена. Напротив, простое трансцендентное расширение бесконечно.

Пусть дана последовательность расширений ${\displaystyle K\subset L\subset M}$. Расширение ${\displaystyle M/K}$ является алгебраическим тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle L/K}$ и ${\displaystyle M/L}$ – алгебраические расширения. Далее, ${\displaystyle M/K}$ конечно тогда и только тогда, когда конечны ${\displaystyle L/K}$ и ${\displaystyle M/L}$, причём 

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K]}$.

Если ${\displaystyle P/k}$ и ${\displaystyle Q/k}$ – два алгебраических расширения и ${\displaystyle PQ}$ – композит полей ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ в некотором их общем надполе, то ${\displaystyle PQ/k}$ также алгебраическое расширение.

См. также Сепарабельное расширение поля.