Диофантовы уравнения

Диофа́нтовы уравне́ния, алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами относительно неизвестных, принимающих целые или рациональные значения. Названы по имени Диофанта, изучавшего такие уравнения. Число неизвестных в диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, поэтому их обычно называют неопределёнными. Простейшее диофантово уравнение – уравнение ${\displaystyle ax+by=1}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ – целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное множество решений: если ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ – одно решение, то пары ${\displaystyle (x,y)}$, где ${\displaystyle x=x_{0}+b_{n}}$, ${\displaystyle y=y_{0}-a_{n}}$, ${\displaystyle n}$ – любое целое число, также являются решениями, которыми и исчерпывается вся совокупность решений.

Другим типом диофантовых уравнений являются уравнения 2-й степени

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$

где ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$ – целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений. Примером может служить уравнение Пелля ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$, где ${\displaystyle d}$ – натуральное число, не являющееся полным квадратом. Это уравнение имеет бесконечное число решений, которые можно выписать в явном виде.

Изучались диофантовы уравнения вида

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\ldots +a_{n}y^{n}=0,}$

где ${\displaystyle n,a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$ – целые числа, ${\displaystyle n\geqslant 3}$. Если многочлен ${\displaystyle a_{0}t^{n}+a_{1}t^{n-1}+\ldots +a_{n}}$ неприводим в поле рациональных чисел, т. е. не разлагается на множители в этом поле, то соответствующее уравнение не может иметь бесконечно много решений.

Известной задачей теории диофантовых уравнений является Великая теорема Ферма – гипотеза об отсутствии при целых ${\displaystyle n\geqslant 3}$ нетривиальных целых решений диофантовых уравнений

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$.

Доказательство этого утверждения для ${\displaystyle n=4}$ получено Л. Эйлером. Этот результат сводит общий случай к доказательству отсутствия нетривиальных целых решений уравнения (1) при простом ${\displaystyle n\geqslant 3}$. Великая теорема Ферма была доказана английским математиком Э. Уайлсом (1995). Задачи о целых или рациональных точках на алгебраических многообразиях составляют предмет т. н. диофантовой геометрии.