Аффинное пространство

Aффи́нное простра́нство над полем ${\displaystyle {k}}$, множество ${\displaystyle A}$ (элементы которого называются точками аффинного пространства), которому сопоставлены векторное пространство ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle k}$ (называется пространством, присоединённым к ${\displaystyle A}$) и отображение множества ${\displaystyle A\times A}$ в пространство ${\displaystyle L}$ [образ элемента ${\displaystyle (a,b)\in A\times A}$ обозначается через ${\displaystyle }{\overrightarrow {ab}}$ и называется вектором с началом ${\displaystyle a}$ и концом ${\displaystyle b}$], обладающее свойствами:

1) для любой фиксированной точки ${\displaystyle a}$ отображение ${\displaystyle x\rightarrow {\overrightarrow {ax}}}$, ${\displaystyle x\in A}$, является биекцией ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle L}$;

2) для любых точек ${\displaystyle a,b,c\in A}$ выполняется соотношение Шаля:

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}+{\overrightarrow {ca}}={\overrightarrow {0}},\,\,{\text{где}}\,\,{\overrightarrow {0}}\,{\text{-}}\,{\text{нулевой вектор.}}}$

Размерностью аффинного пространства ${\displaystyle A}$ называется размерность ${\displaystyle L}$. Точка ${\displaystyle a\in A}$ и вектор ${\displaystyle l\in L}$ определяют другую точку, обозначаемую ${\displaystyle a+l}$, т. е. аддитивная группа векторов пространства ${\displaystyle L}$ транзитивно и свободно действует на аффинное пространство, соответствующее ${\displaystyle L}$.

Примеры:

1. Множество векторов пространства ${\displaystyle L}$ является аффинным пространством ${\displaystyle A(L)}$, присоединённое к нему пространство совпадает с ${\displaystyle L}$. В частности, поле скаляров есть аффинное пространство размерности ${\displaystyle 1}$. Если ${\displaystyle L=k^{n}}$, то ${\displaystyle A\left(k^{n}\right)}$ называется ${\displaystyle n}$-мерным координатным аффинным пространством над полем ${\displaystyle k}$, точки его ${\displaystyle a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ и ${\displaystyle b=\left(b_{1},\ldots ,b_{n}\right)}$ определяют вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}=\left(b_{1}-a_{1},\ldots ,b_{n}-a_{n}\right)}$.

2. Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем ${\displaystyle k}$ является аффинным пространством.

3. Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является аффинным пространством, присоединённым к которому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений.

Подмножество ${\displaystyle A^{\prime }}$ аффинного пространства ${\displaystyle A}$ называется аффинным подпространством (или линейным многообразием) в ${\displaystyle A}$, если множество векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$, ${\displaystyle a,b\in A}$ образует подпространство пространства ${\displaystyle L}$. Каждое аффинное подпространство ${\displaystyle A^{\prime }\subset A}$ имеет вид ${\displaystyle a+L^{\prime }=\left\{a+l\mid l\in L^{\prime }\right\}}$, где ${\displaystyle L^{\prime }}$ – некоторое подпространство в ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle a}$ – произвольный элемент из ${\displaystyle A^{\prime }}$.

Отображение ${\displaystyle f:A_{1}\rightarrow A_{2}}$ аффинного пространства ${\displaystyle A_{1}}$ в ${\displaystyle A_{2}}$ называется аффинным, если существует линейное отображение присоединённых векторных пространств ${\displaystyle \varphi :L_{1}\rightarrow L_{2}}$ такое, что ${\displaystyle f(a+l)=f(a)+\varphi (l)}$ для любых ${\displaystyle a\in A_{1}}$, ${\displaystyle l\in L_{1}}$. Биективное аффинное отображение называется аффинным изоморфизмом. Все аффинные пространства одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой.

Аффинные изоморфизмы аффинного пространства ${\displaystyle A}$ в себя образуют группу, называемую аффинной группой аффинного пространства ${\displaystyle A}$ и обозначаемую ${\displaystyle \operatorname {Aff} (A)}$. Аффинная группа аффинного пространства ${\displaystyle A\left(k^{n}\right)}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aff} _{n}(k)}$. Каждый элемент ${\displaystyle f\in \operatorname {Aff} _{n}(k)}$ задаётся формулой

${\displaystyle f\left(\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\right)=\left(b_{1},\ldots ,b_{n}\right)}$,

где

${\displaystyle b_{i}=\sum _{j}a_{i}^{j}a_{j}+c_{i}}$,

${\displaystyle \left(a_{i}^{j}\right)}$ – обратимая матрица. Аффинная группа ${\displaystyle \operatorname {Aff} (A)}$ содержит инвариантную подгруппу, называемую подгруппой параллельных переносов, состоящую из отображений ${\displaystyle f:A\rightarrow A}$, для которых отображение ${\displaystyle \varphi :L\rightarrow L}$ является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства ${\displaystyle L}$. Отображение ${\displaystyle f\rightarrow \varphi }$ определяет сюръективный гомоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Aff} (A)}$ в общую линейную группу ${\displaystyle \operatorname {GL} }$, ядром которого является подгруппа параллельных переносов. Если ${\displaystyle L}$ – евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы называется подгруппой евклидовых движений. Прообраз специальной линейной группы ${\displaystyle \operatorname {SGL} }$ называется эквиаффинной подгруппой (см. Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа ${\displaystyle G_{a}\subset \operatorname {Aff} _{n}(A)}$, состоящая из отображений ${\displaystyle f:A\rightarrow A}$ таких, что ${\displaystyle f(a+l)=a+\varphi (l)}$ для некоторого ${\displaystyle a\in A}$ и любых ${\displaystyle l\in L}$ называется центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе ${\displaystyle \operatorname {GL} }$ пространства ${\displaystyle L}$.

В алгебраической геометрии аффинными пространствами также называются аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное аффинное пространство можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраического множества, снабжённого топологией Зариского.

Аналогично строится аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом ${\displaystyle k}$.