Теорема Безу

Теоре́ма Безу́, 1) теорема Безу о делении многочлена на линейный двучлен: остаток от деления многочлена

${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+\ldots +a_{n}}$

на двучлен ${\displaystyle x-a}$ равен ${\displaystyle f(a)}$. Предполагается, что коэффициенты многочленов содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле действительных или комплексных чисел). Следствие теоремы Безу: число ${\displaystyle \alpha }$ является корнем многочлена ${\displaystyle f(x)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(x)}$ делится без остатка на двучлен ${\displaystyle x-\alpha }$.

2) Теорема Безу для системы однородных уравнений: если система ${\displaystyle n}$ однородных уравнений от ${\displaystyle n+1}$ неизвестных

${\displaystyle f_{i}\left(x_{0},\ldots ,x_{n}\right)=0,\quad i=1,2,\ldots ,n,}$ (*)

обладает лишь конечным числом непропорциональных ненулевых решений в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты системы, то число этих решений с учётом кратности равно произведению степеней уравнений. Кратность решения есть, по определению, индекс пересечения гиперповерхностей ${\displaystyle (*)}$ в соответствующей точке. Теорема носит имя Э. Безу (Bézout. 1779^[1]), изучавшего системы алгебраических уравнений высших степеней.