Зада́ча Курато́вского, задача нахождения максимального числа множеств, которые можно получить из данного подмножества топологического пространства применением операций замыкания и дополнения (в любой последовательности их чередования). Указанное число, как показал К. Куратовский (Kuratowski. 1922), равно 14. Утверждение об этой оценке также называется теоремой Куратовского о замыканиях и дополнениях, или теоремой Куратовского о 14 множествах.

Пусть $X$ – топологическое пространство, $g(A)$ обозначает замыкание, а $c(A)=X\setminus A$ – дополнение произвольного множества $A\subset X$; тогда $g$ и $c$ можно рассматривать как теоретико-множественные операторы на $X$, т. е. отображения множества $\Omega(X)$ в себя (где $\Omega(X)$ обозначает множество всех подмножеств множества $X$), при этом имеют место равенства $gg=g$ и $cc=e$, где $e$ – тождественное отображение множества $X$. Операторы $g$ и $c$ порождают некоторую полугруппу в полугруппе всех операторов на $X$ (т. е. в полугруппе всех отображений множества $\Omega(X)$ в себя) относительно закона композиции; оказывается, что порядок этой полугруппы (т. е. число её элементов) не превосходит 14. Ключевым для доказательства этого факта является равенство $gcgcgcg=gcg$, установленное Куратовским в его оригинальной работе. Отсюда сразу следует, что применением к произвольному множеству $A\subset X$ операций замыкания и дополнения (в любой последовательности их чередования) можно получить не более 14 различных множеств, а именно:

$$\begin{gathered}A, g(A), cg(A), gcg(A), cgcg(A), gcgcg(A), cgcgcg(A),\\ c(A), gc(A), cgc(A), gcgc(A), cgcgc(A), gcgcgc(A), cgcgcgc(A).\end{gathered}$$Эта оценка точна, как показывает пример подмножества $(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup([4,5]\cap\mathbb{Q}$) вещественной прямой (здесь $\mathbb Q$ обозначает множество рациональных чисел): применение к нему операций замыкания и дополнения даёт ровно 14 различных множеств.

Имеет место следующее общее утверждение об упорядоченных множествах, в существенной своей части доказанное П. Хаммером (Hammer. 1960). Пусть $P$ – упорядоченное множество, и пусть $g\colon P\to P$ и $c\colon P\to P$ – два отображения, обладающие свойствами:
– если $x\leqslant y$, то $g(x)\leqslant g(y)$ и $c(y)\leqslant c(x)$;
– $x\leqslant g(x)$;
– $gg(x)=g(x)$ и $cc(x)=x$
(другими словами, отображение $g$ изотонно, обладает свойствами экстенсивности и идемпотентности, а отображение $c$ антитонно и инволютивно). Тогда имеет место равенство $gcgcgcg=gcg$, и полугруппа отображений множества $P$ в себя, порождённая отображениями $g$ и $c$, состоит не более чем из 14 элементов. Из этого утверждения, применённого к упорядоченному множеству $P=\Omega(X)$ всех подмножеств топологического пространства $X$ и операторам замыкания $g$ и дополнения $c$, можно получить решение задачи Куратовского.

Задача Куратовского породила многочисленные исследования сходной проблематики; обзор многих из них имеется в статье Б. Гарднера и М. Джексона (Gardner. 2008). Так, в частности, были получены результаты, касающиеся порядков полугрупп, порождённых также операторами границы и внутренности. Более подробно, пусть $X$ – топологическое пространство, а $g$ и $c$, как и выше, обозначают операторы замыкания и дополнения соответственно; пусть также $i(A)=cgc(A)$ – внутренность и $f(A)=g(A)\cap gc(A)$ – граница множества $A\subset X$.

В следующей таблице показаны максимальные порядки полугрупп, порождённых отображениями из набора $g,c,i,f$ (эквивалентные множества порождающих опущены):

Эти оценки точны: существует подмножество $A$ вещественной прямой, применение к которому операторов из первой строки таблицы (в любой последовательности) даёт число различных множеств, равное соответствующему числу из второй строки.

Также известны максимальные порядки полугрупп в ситуации, когда $X$ – произвольное множество, оператор $g$ обладает свойствами:
a) если $A\subset B$, то $g(A)\subset g(B)$ (монотонность),
b) $A\subset g(A)$ (экстенсивность),
c) $gg(A)=g(A)$ (идемпотентность),

а операторы $c, i, f$ определены теми же равенствами, что и выше. [Оператор замыкания $g$ в топологическом пространстве $X$ обладает свойствами a)–c), но, сверх того, он удовлетворяет условию $g(\varnothing)=\varnothing$ и более сильному, чем монотонность, условию аддитивности: $g(A\cup B)=g(A)\cup g(B)$ для любых $A\subset X$ и $B\subset X$.] Тогда максимальные порядки полугрупп, порождённых отображениями из набора $g,c,i,f$, отличаются от указанных выше в трёх последних случаях:

Cвойствами a)–c) обладает оператор $h$ обычной выпуклой оболочки в $n$-мерном евклидовом пространстве $E^n$ (т. е. если $A\subset E^n$, то $h(A)=\operatorname{conv}(A)$ – наименьшее выпуклое в $E^n$ множество, содержащее множество $A$). Как доказал У. Коэнен (Koenen. 1966), имеет место равенство $hchch=chch$ (где $c$, как и раньше, обозначает оператор дополнения), а количество различных множеств, которые можно получить из данного $A\subset E^n$ применением операций выпуклой оболочки и дополнения, не превосходит 10.