Теоре́ма Ляпуно́ва в тео́рии вероя́тностей, теорема, устанавливающая весьма общие достаточные условия для сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному распределению. Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть независимые случайные величины $X_1,\ldots,X_k,\ldots$ имеют конечные математические ожидания $\mathsf{E}X_k$, дисперсии $\mathsf{D}X_k$ и абсолютные моменты $\mathsf{E}|X_k-\mathsf{E}X_k|^{2+\delta}$, $\delta>0$, и пусть $B_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\mathsf{D}X_k$ – дисперсия суммы $X_1,\ldots,X_k$. Тогда если при некотором $\delta>0$ выполнено условие

$$\tag{1} \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\mathsf{E}|X_k-\mathsf{E}X_k|^{2+\delta}}{B_n^{1+\delta/2}}=0,$$то вероятность неравенства

$$\tag{2} x_1<\frac{\sum_{k=1}^n(X_k-\mathsf{E}X_k)}{\sqrt{B_n}}<x_2$$стремится при $n\to\infty$ к пределу

$$\tag{3} \frac{1}{2\pi}\int\limits_{x_1}^{x_2}e^{-x^2/2}\,dx$$равномерно относительно всех значений $x_1$ и $x_2$. Условие (1) называется условием Ляпунова. Теорема Ляпунова была сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым (1901) и явилась завершающим этапом исследований П. Л. Чебышёва, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова по проблеме об условиях приложимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но и необходимыми. Окончательное решение вопроса в этом направлении было получено С. Н. Бернштейном, Дж. Линдебергом (J. Lindeberg) и У. Феллером. В теореме Ляпунова впервые была продемонстрирована сила метода характеристических функций.

А. М. Ляпуновым была также дана оценка сверху при $\delta\leqslant 1$ для абсолютной величины разности $\Delta$ между вероятностью неравенства (2) и её приближённым значением (3). Этой оценке можно придать следующий вид: при $\delta<1$

$$|\Delta|\leqslant C_1L_{n,\delta}$$и при $\delta=1$

$$|\Delta|\leqslant C_2L_{n,1}\left|\log\frac{1}{L_{n,1}}\right|,$$где $C_1$ и $C_2$ – абсолютные постоянные и $L_{n,\delta}$ – дробь (дробь Ляпунова), стоящая под знаком предела в (1). См. также Неравенство Бэрри – Эссеена.