Сопряжённый тригонометри́ческий ряд к ряду

$$\sigma =\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx$$– ряд

$$\overline \sigma =\ \sum _{n=1}^\infty -b_{n}\cos nx+ a_{n}\sin nx.$$Эти ряды являются соответственно действительной и мнимой частями ряда

$$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_{n}-ib_{n})z^{n}$$при $z=e^{ix}.$ Формула для частных сумм $\overline \sigma [f]$ сопряженного к ряду Фурье функции $f(x)$ тригонометрического ряда

$$\overline{S}_{n}(x)=-\frac{1}\pi \int\limits_{-\pi }^\pi f(t)\overline{D}_{n}(t-x)\,dt,$$где $\overline{D}_{n}(x)$ – сопряжённое ядро Дирихле. Если $f(x)$ – функция ограниченной вариации на $[-\pi ,\pi ]$, то необходимым и достаточным условием сходимости ряда $\overline \sigma [f]$ в точке $x_{0}$ является существование сопряжённой функции $\overline{f}(x_{0})$, которая представляет тогда сумму ряда $\overline \sigma [f]$. Если $f(x)$ – суммируемая на $[-\pi ,\pi ]$ функция, то ряд $\overline\sigma [f]$ суммируется почти всюду методами $(C,\alpha )$, $\alpha >0$, и методом Абеля – Пуассона и почти всюду совпадает с сопряжённой функцией $\overline{f}(x)$. Если функция $\overline f(x)$ суммируема, то сопряжённый ряд $\overline \sigma [f]$ является её рядом Фурье. Функция $\overline f(x)$ может быть несуммируемой; для таких обобщений интеграла Лебега, как А-интеграл и интеграл Бокса, сопряжённый ряд $\overline \sigma [f]$ всегда является рядом Фурье сопряжённой функции.