Ядро́ Дирихле́, выражение

$$D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^{n} \cos kx=\frac{\sin \left(n+\frac12\right)x}{2\sin\frac x2}.$$П. Дирихле (Dirichlet. 1829) доказал, что частная сумма $S_n(x)$ ряда Фурье функции $f(x)$ выражается через ядро Дирихле:

$$S_{n}(x)=\frac{a_{0}}{2} +\sum _{k=1}^{n} a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx=\frac{1}\pi \int\limits _{-\pi }^\pi f(t)D_{n}(t-x)\,dt;$$интеграл справа называется сингулярным интегралом Дирихле.

По аналогии с ядром Дирихле (см. Tauber. 1891) выражение

$$\overline{D}_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n} \sin kx=\frac{\cos\frac x2-\cos\left(n+\frac12\right)x}{2\sin \frac x2}$$называется сопряжённым ядром Дирихле. Частная сумма ряда, сопряжённого к ряду Фурье функции $f(x)$, выражается через сопряжённое ядро Дирихле:

$$\overline{S}_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\cos kx- a_{k}\sin kx=-\frac{1}\pi \int\limits _{-\pi }^\pi f(t)\overline{D}_{n}(t-x)\,dt.$$