Солвмногообра́зие (разрешимое многообразие), однородное пространство $M$ связной разрешимой группы Ли $G$; его можно отождествить с пространством смежных классов $G/H$, где $H$ – стационарная подгруппа некоторой точки многообразия $M$.

Примеры: $\R^n$, тор $T^n$, многообразие Ивасавы $N/I$ [где $N$ – группа всех верхних треугольных матриц с единицами на диагонали в $GL (3, \R)$, $I$ – подгруппа всех целых точек в $N$], $K^2$ (бутылка Клейна), $Mb$ (лист Мёбиуса).

Первым среди солвмногообразий был изучен более узкий класс нильмногообразий, т. е. однородных пространств нильпотентных групп Ли (таковы $\R^n$, $T^n$, $N/I$, а $K^2$ и $Mb$ нильмногообразиями не являются). Для них А. И. Мальцевым были доказаны следующие утверждения (см. Ρагунатан. 1977).

1. Всякое нильмногообразие $M=G/H$ диффеоморфно $M^*\times\R^n$, где $M^*$ – компактное нильмногообразие.

2. Если $M$ компактно и действие $G$ на $M$ эффективно, то стационарная подгруппа $H$ является дискретной подгруппой.

3. Нильпотентная группа Ли $G$ может транзитивно и локально эффективно действовать на некотором компактном многообразии тогда и только тогда, когда её алгебра Ли $\mathfrak{G}$ имеет $\mathbb{Q}$–форму. При этом если $G$ односвязна, то она изоморфна унипотентной алгебраической группе, определённой над $\mathbb{Q}$, и $H$ является арифметической подгруппой в $G$.

4. Фундаментальная группа $\pi_1(M)$ компактного нильмногообразия $M$ (изоморфная $H$, если $G$ односвязна и её действие на $M$ локально эффективно) определяет его однозначно с точностью до диффеоморфизма. Фигурирующие здесь группы $\pi_1(M)$ – это в точности всевозможные конечно порождённые нильпотентные группы без кручения.

Эти результаты отчасти обобщаются на произвольные солвмногообразия. Так, для произвольного солвмногообразия $M$ существует солвмногообразие $M^\prime$, конечнолистно накрывающее его и диффеоморфное $M^*\times\R^n$, где $M^*$ – некоторое компактное солвмногообразие. Произвольное солвмногообразие не всегда разлагается в прямое произведение $M^*\times\R^n$, но диффеоморфно (см. Auslander. 1973, Mostow. 1971) пространству векторного расслоения над некоторым компактным солвмногообразием (для $Mb$ соответствующим расслоением является нетривиальное линейное расслоение над $S^1$). Фундаментальная группа $\pi_1(M)$ произвольного солвмногообразия $M$ полициклична и, если $M$ компактно, определяет многообразие однозначно с точностью до диффеоморфизма. Группа $\pi$ изоморфна $\pi_1(M)$ для некоторого компактного солвмногообразия $M$ тогда и только тогда, когда она включается в точную последовательность вида

$$\{e\} \to\Delta\to\pi\to\mathbb{Z}^s\to \{e\},$$где $\Delta$ – некоторая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения. В каждой полициклической группе существует подгруппа конечного индекса, изоморфная $\pi_1(M)$ для некоторого компактного солвмногообразия $M$. Если разрешимая группа Ли $G$ действует на компактном солвмногообразии $M=G/H$ транзитивно и локально эффективно, то $M$ расслаивается над тором со слоем $N/H\cap N$, где $N$ – нильрадикал в $G$. Компактность солвмногообразия $M=G/H$ эквивалентна наличию на $MG$ инвариантной меры, относительно которой объём $M$ конечен.

Каждое солвмногообразие $M$ асферично [т. е. гомотопические группы $\pi_i(M)=0$ при $i\geqslant 2$]. Среди всех компактных однородных пространств компактные солвмногообразия характеризуются асферичностью и разрешимостью группы $\pi_1(M)$ (см. Горбацевич. 1977).