Разреши́мая гру́ппа Ли, группа Ли, разрешимая как абстрактная группа. В дальнейшем рассматриваются вещественные или комплексные разрешимые группы Ли.

Нильпотентная, в частности абелева, группа Ли разрешима. Если $F=\left\{V_i\right\}$ – полный флаг в конечномерном векторном пространстве $V$ (над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$), то

$$B(F)=\left\{g \in \operatorname{G L}(V) \mid g V_i \subset V_i,\,\forall i\right\}$$является разрешимой алгебраической подгруппой в $\operatorname{G L}(V)$ и, в частности, разрешимой группой Ли. Если в $V$ выбрать базис, согласованный с флагом $F$, то в нём элементы группы ${B}(F)$ представятся невырожденными верхними треугольными матрицами; полученная матричная разрешимая группа Ли обозначается через $T(n, K)$, где $K=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ группы $G$ разрешима тогда и только тогда, когда разрешима связная компонента единицы $(G)_0$ группы $G$. Алгебрами Ли групп $B(F)$ и $T(n, K)$ являются соответственно $\mathfrak{t}(F)$ и $\mathfrak{t}(n, K)$ (см. Разрешимая алгебра Ли). В силу соответствия между подалгебрами в $\mathfrak{g}$ и связными подгруппами Ли в $G$ на разрешимые группы Ли переносятся все свойства разрешимой алгебры Ли (см. Бурбаки. 1976; Шевалле. 1958).

Для разрешимой группы Ли справедлив аналог теоремы Ли о разрешимых алгебрах Ли: если $\rho: G \rightarrow \operatorname{G L}(V)$ – конечномерное комплексное представление разрешимой группы Ли $G$, то существует полный флаг $F$ в $V$ такой, что $\rho(G) \subset B(G)$. В частности, в $V$ существует общий собственный вектор для всех $\rho(g)$, $g \in G$.

Разрешимые группы Ли были впервые рассмотрены C. Ли, предполагавшим, что непрерывные группы могут играть в теории интегрирования в квадратурах дифференциальных уравнений ту же роль, что группа Галуа в теории алгебраических уравнений. Однако, вообще говоря, группа автоморфизмов дифференциального уравнения тривиальна, и поэтому только для линейных и некоторых других уравнений в этом направлении получены содержательные результаты. Так, для этих уравнений выразимость решений через квадратуры и экспоненты от них фактически эквивалентна разрешимости соответствующей (матричной) группы Галуа (Капланский. 1959). Если же эта группа нильпотентна, то экспоненты от квадратур в решение не входят.

В силу теоремы Леви – Мальцева о разложении в полупрямое произведение произвольной связной односвязной группы Ли разрешимые группы Ли играют существенную роль при изучении произвольных групп Ли. В произвольной связной группе Ли $G$ рассматриваются также максимальные разрешимые подгруппы. Если $K=\mathbb{C}$, то они называются борелевскими и сопряжены в группе $G$. Например, $B(F)$ – борелевская подгруппа в $\operatorname{G L}(V)$.

Односвязная разрешимая группа Ли всегда имеет точное конечномерное представление, для неодносвязных это не всегда так. В односвязной разрешимой группе Ли произвольная связная подгруппа замкнута и односвязна (Мальцев. 1976). Экспоненциальное отображение $\operatorname{exp}: \mathfrak{g} \rightarrow G$ даже для односвязной разрешимой группы Ли не обязано быть ни инъективным, ни сюръективным. Разрешимые группы Ли, для которых $\exp$ – диффеоморфизм, называются экспоненциальными. Односвязная разрешимая группа Ли диффеоморфна $\mathbb{R}^N$, а произвольная связная разрешимая группа Ли – $\mathbb{R}^n \times T^m$, где $T^m$ есть $m$-мерный тор.

Связная линейная разрешимая группа Ли над $R$ представляется в виде полупрямого произведения $K \cdot S$, где $K$ – компактная абелева подгруппа, a $S$ – односвязный нормальный делитель. Алгебраическая связная разрешимая группа над любым полем характеристики 0 разлагается в полупрямое произведение нормального делителя, состоящего из унипотентных элементов, и абелевой подгруппы, состоящей из полупростых элементов (Шевалле. 1958). Для связных разрешимых групп Ли можно определить (Auslander. 1973) аналог расщепления Мальцева.

Если алгебра Ли связной группы Ли $G$ треугольна (над $\mathbb{R}$), то $G$ называется треугольной. Для треугольных групп Ли справедлив аналог теоремы Ли о разрешимых алгебрах. Максимальные связные треугольные подгруппы в произвольной связной группе Ли сопряжены (Винберг. 1961). Связная треугольная группа Ли изоморфна подгруппе в $T(n, \mathbb{R})$ и является экспоненциальной группой, если она односвязна.