Распределение Дирихле

Распределе́ние Дирихле́, распределение вероятностей в симплексе

${\displaystyle S_{k}=\{(x_{1},\ldots ,x_{k}):x_{1}\geqslant 0,\ldots ,x_{k}\geqslant 0,\ x_{1}+\ldots +x_{k}=1\}}$,

${\displaystyle k=2,3,\ldots }$, определяемое плотностью вероятности

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{k})={\begin{cases}\displaystyle C_{k}\prod _{i=1}^{k}x_{i}^{\nu _{i}-1},&{\text{ если }}(x_{1},\ldots ,x_{k})\in S_{k},\ 0,&{\text{ если }}(x_{1},\ldots ,x_{k})\notin S_{k},\end{cases}}}$

причём ${\displaystyle \nu _{1}>0,\ldots ,\nu _{k}>0}$ и

${\displaystyle C_{k}=\Gamma (\nu _{1}+\ldots +\nu _{k})\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{\Gamma (\nu _{i})}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ – гамма-функция. Частный случай распределения Дирихле – бета-распределение – возникает при ${\displaystyle k=2}$. Распределение Дирихле играет важную роль в теории порядковых статистик. Например, если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ – независимые случайные величины, подчиняющиеся равномерному распределению на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, и ${\displaystyle X^{(1)}\leqslant \ldots \leqslant X^{(n)}}$ – соответствующий вариационный ряд, то совместное распределение ${\displaystyle k}$ разностей вида

${\displaystyle X^{(m_{1})},\ X^{(m_{2})}-X^{(m_{1})},\ \ldots ,\ X^{(m_{k-1})}-X^{(m_{k-2})},\ 1-X^{(m_{k})}}$

(предполагается, что ${\displaystyle 1\leqslant m_{1}<m_{2}<\ldots <m_{k-1}}$) подчиняется распределению Дирихле, причём ${\displaystyle \nu _{1}=m_{1},\ \nu _{2}=m_{2}-m_{1},\ \ldots ,\ \nu _{k-1}=m_{k-1}-m_{k-2},\ \nu _{k}=n-m_{k-1}}$. </m_2<\ldots<m_{k-1}<></math>