Распределе́ние Дирихле́, распределение вероятностей в симплексе

$$S_k=\{(x_1,\ldots,x_k):x_1\geqslant0,\ldots,x_k\geqslant0,\ x_1+\ldots+x_k=1\},$$$k=2,3,\ldots$, определяемое плотностью вероятности

$$p(x_1,\ldots,x_k)=\begin{cases} \displaystyle C_k\prod_{i=1}^k x_i^{\nu_i-1}, &\text{ если } (x_1,\ldots,x_k)\in S_k,\\ 0, &\text{ если } (x_1,\ldots,x_k)\notin S_k, \end{cases}$$причём $\nu_1>0,\ldots,\nu_k>0$ и

$$C_k=\Gamma(\nu_1+\ldots+\nu_k)\prod_{i=1}^k\frac 1{\Gamma(\nu_i)},$$где $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция. Частный случай распределения Дирихле – бета-распределение – возникает при $k=2$. Распределение Дирихле играет важную роль в теории порядковых статистик. Например, если $X_1,\ldots, X_n$ – независимые случайные величины, подчиняющиеся равномерному распределению на отрезке $[0, 1]$, и $X^{(1)}\leqslant\ldots\leqslant X^{(n)}$ – соответствующий вариационный ряд, то совместное распределение $k$ разностей вида

$$X^{(m_1)},\ X^{(m_2)}-X^{(m_1)},\ \ldots,\ X^{(m_{k-1})}- X^{(m_{k-2})},\ 1-X^{(m_k)}$$(предполагается, что $1\leqslant m_1<m_2<\ldots<m_{k-1}$) подчиняется распределению Дирихле, причём $\nu_1=m_1, \nu_2=m_2-m_1, \ldots, v_{k-1}=m_{k-1}-m_{k-2}, \nu_k=n-m_{k-1}$.