Расходя́щийся ряд, ряд, у которого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Например, ряды

$$\begin{aligned}1 &+ 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots,\\ 1 &- 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots,\\ 1 &-2 + 3-4 + 5 -\ldots,\\ 1 &+x+x^2+x^3+x^4+\ldots\quad(|x|\geqslant1) \end{aligned}$$расходятся.

Расходящиеся ряды стали появляться в работах математиков 17–18 вв. Л. Эйлер первым пришёл к выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма, а как определить сумму расходящегося ряда, и нашёл подход к решению этого вопроса, близкий к современному. Расходящиеся ряды до конца 19 в. не находили применения и были почти забыты. Накопление к концу 19 в. различных фактов математического анализа вновь пробудило интерес к расходящимся рядам. Стал выдвигаться вопрос о возможности суммирования рядов в некотором смысле, отличном от обычного.

Примеры. 1) Если перемножить два ряда

$$\sum_{n=0}^\infty a_n\quad\text{и}\quad\sum_{n=0}^\infty b_n,$$сходящихся соответственно к $A$ и $B$, то полученный в результате перемножения ряд

$$\tag{1}\sum_{n=0}^\infty c_n=\sum_{n=0}^\infty (a_0b_n+a_1b_{n-1}+\ldots+a_nb_0)$$может оказаться расходящимся. Однако если сумму ряда (1) определить не как предел частичных сумм $s_n$, а как

$$\tag{2}\lim_{n\to\infty}\frac{s_0+s_1+\ldots+s_n}{n+1},$$то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. е. предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом смысле равна $C=AB$.

2) Ряд Фурье функции $f(x)$, непрерывной в точке $x_0$ (или имеющей в ней разрыв 1-го рода), может расходиться в этой точке. Если же сумму ряда определить по формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна $f(x_0)$ (или соответственно $\dfrac{f(x_0{+}0) + f(x_0{-}0)}{2}$, если $x_0$ – точка разрыва 1-го рода).

3) Степенной ряд

$$\tag{3}\sum_{n=0}^\infty z^n$$сходится для $|z|<1$ к сумме $1/(1-z)$ и расходится для $|z|\geqslant 1$. Если сумму ряда определить как

$$\tag{4}\lim_{x\to\infty}e^{-x}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}s_n,$$где $s_n$ – частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех $z$, удовлетворяющих условию $\mathop{\mathrm{Re}}z<1$, причём его суммой будет функция $1/(1-z)$.

Для обобщения понятия суммы ряда в теории расходящихся рядов рассматривают некоторую операцию или правило, в результате которого расходящемуся ряду ставится в соответствие определённое число, называемое его суммой (в этом определении). Такое правило называется методом суммирования. Так, правило, описанное в примере 1), называется методом суммирования средних арифметических. Правило, определяемое в примере 3), называется методом суммирования Бореля.