Простра́нство Пуанкаре́, 1) пространство Пуанкаре формальной размерности $n$ – топологическое пространство $X$, где задан элемент $\mu \in H_n(X)=\mathbb{Z}$, что гомоморфизм $\cap \mu: H^k(X) \rightarrow H_{n-k}(X)$ вида $x \rightarrow x \cap \mu$ является изоморфизмом для любого $k$ (здесь $\cap$ – операция умножения Уитни, высечение). При этом $\cap \mu$ называется изоморфизмом двойственности Пуанкаре и элемент $\mu$ порождает группу $H_n(X)=\mathbb{Z}$. Любое замкнутое ориентируемое $n$-мерное связное топологическое многообразие является пространством Пуанкаре формальной размерности $n$; в качестве $\mu$ берётся ориентация (фундаментальный класс) многообразия.

Пусть $X$ – конечное клеточное пространство, вложенное в евклидово пространство $\mathbb{R}^N$ большой размерности $N$, и $U$ – замкнутая регулярная окрестность этого вложения, а $\partial U$ – её край. Стандартное отображение $p: \partial U \rightarrow X$ превращается (по Серру) в расслоение. Теорема: пространство $X$ является пространством Пуанкаре формальной размерности $n$ тогда и только тогда, когда слой этого расслоения гомотопически эквивалентен сфере $S^{N-n-1}.$ Возникающее над пространством Пуанкаре $X$ описанное расслоение (слой которого – сфера) единственно с точностью до стационарной эквивалентности и называется сферическим нормальным расслоением, или расслоением Спивака, пространства Пуанкаре $X$. При этом конус проекции $p: \partial U \rightarrow X$ есть пространство Тома нормального сферического расслоения над $X$.

Если ограничиться лишь гомологиями с коэффициентами в некотором поле $F$, то получится т. н. пространство Пуанкаре над $F$.

Рассматриваются также пары Пуанкаре $(X, A)$ (обобщение понятия многообразия с краем), где для некоторой образующей $\mu \in H_n(X, A)=\mathbb{Z}$ и любого $k$ имеется изоморфизм двойственности Пуанкаре:

$$\cap \mu: H^k(X) \longrightarrow H_{n-k}(X, A).$$Пространства Пуанкаре естественным образом возникают в задачах существования и классификации структур на многообразиях. Содержательна также задача сглаживания (триангуляции) пространства Пуанкаре, т. е. отыскания гладкого (кусочно-линейного) замкнутого многообразия, гомотопически эквивалентного данному пространству Пуанкаре.

2) Пространство Пуанкаре $n$-мерное – замкнутое $n$-мерное многообразие $M$, группы гомологий $H_i(M)$ которого изоморфны группам гомологий $H_i\left(S^n\right)$ $n$-мерной сферы $S^n$; другое название – гомологическая сфера.

Односвязное пространство Пуанкаре гомотопически эквивалентно сфере. Для группы $\pi$, реализуемой как фундаментальная группа некоторого пространства Пуанкаре, имеют место равенства $H_1(\pi)=H_2(\pi)=0$, где $H_i(\pi)$ – группы гомологий группы $\pi$. Обратно, для любого $n \geqslant 5$ и любой конечно представимой группы $\pi$ с $H_1(\pi)=H_2(\pi)=0$ существует $n$-мерное пространство Пуанкаре $M$ с $\pi_1(M) \pi$.

Для $n=3,4$ этих условий недостаточно для реализации группы $\pi$ в виде $\pi=\pi_1(M)$. Так, например, фундаментальная группа любого трёхмерного пространства Пуанкаре допускает копредставление с одинаковым числом образующих и соотношений. Единственная конечная группа, реализуемая как фундаментальная группа трёхмерного пространства Пуанкаре, есть бинарная группа икосаэдра $\left\langle x, y: x^2=y^5=1\right\rangle$, являющаяся фундаментальной группой пространства додекаэдра – исторически первого примера пространства Пуанкаре.