Простра́нство О́рлича, банахово пространство измеримых функций; введено В. Орличем (Orlicz. 1932). Пусть $M(u)$ и $N(u)$ – пара дополнительных $N$-функций (см. в статье Класс Орлича) и $G$ – ограниченное замкнутое множество в $\mathbb{R}^n$. Пространством Орлича $L_M^*$ называется множество измеримых относительно меры Лебега функций на $G$, на которых

$$\|x\|_M=\sup \left\{\int_G x(t) y(t)\, d t: \int_G N(y(t))\, d t \leqslant 1\right\}<\infty.$$Пространство Орлича – полное нормированное пространство относительно нормы $\|x\|_M$, которая называется нормой Орлича. Когда $M(u)=u^p$, $1<p<\infty$, то $L_M^*$ совпадает с пространством Рисса $L_p$ и с точностью до скалярного множителя $\|x\|_M$ совпадает с $\|x\|_{L_p}$.

Если $M_1(u)$ и $M_2(u)$ суть $N$-функции, то вложение $L_{M_1}^* \subset L_{M_2}^*$ имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого $C$ и всех достаточно больших $u$ выполнено неравенство $M_2(u) \leqslant M_1(C u)$. Для любого пространства Орлича $L_M^*$ справедливы вложения $L_{\infty} \subset L_M^* \subset L_1$. Всякая суммируемая функция принадлежит некоторому пространству Орлича.

Пространство $L_M^*$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию. В общем случае $L_{\infty}$ не плотно в $L_M^*$ и замыкание $L_{\infty}$ в $L_M^*$ обозначается через $E_M$, оно всегда сепарабельно. Если $x \in L_M^*$, то

$$\lim _{\tau \rightarrow 0} \sup _{\operatorname{mes} E=\tau}\left\|x \chi_E\right\|_M=\rho\left(x, E_M\right),$$где

$$\chi_E(t)=\left\{\begin{aligned} &1,\,\, t \in E, \\ &0,\,\, t \notin E . \end{aligned}\right.$$Если $M(u)$ и $N(u)$ – дополнительные $N$-функции и $x \in L_M^*$, $y \in L_N^*$, то справедлив аналог неравенства Гёльдера

$$\int_G x(t) y(t) \leqslant\|x\|_{(M)}\|y\|_{(N)},$$где $\|x\|_{(M)}$ – норма Люксембурга. Всякий непрерывный линейный функционал $f$ на $E_M$ представим в виде

$$f(x)=\int_G x(t) y(t)\, d t,$$где $y \in L_N$ и $\|f\|=\|y\|_{(N)}$.

Критерии компактности M. Рисса и А. Н. Колмогорова для пространств $L_p$ переносятся на $E_M$. Следующие условия эквивалентны: 1) пространство $L_M^*$ рефлексивно; 2) $M(u)$ и $N(u)$ удовлетворяют $\Delta_2$-условию; 3) в $L_M^*$ существует безусловный базис; 4) система Хаара образует безусловный базис в $L_M^*$; 5) тригонометрическая система – базис в $L_M^*$. Система Xаара – базис в $E_M$.

Аналогичным образом определяется пространство последовательностей $l_M^*$, однако свойства пространства $l_M^*$ зависят от асимптотики функции $M(u)$ в 0. Изучены (Lindenstrauss. 1977–1979) многие геометрические свойства пространств $L_M^*$ и $l_M^*$; например, для любой функции $M(u)$ находится множество всех таких $p$, что $l_p$ изоморфно вкладывается в $L_M^*$.

Пространства Орлича применяются при изучении свойств интегральных операторов, в теории дифференцируемых функций многих переменных и в других разделах анализа.