Простра́нство Ри́сса (векторная решётка), вещественное частично упорядоченное векторное пространство $X$, в котором:

1) структуры векторного пространства и упорядоченного множества согласованы, т. е. из $x,y,z\in X$ и $x<y$ следует $x+z<y+z$ и из $x\in X$, $x>0$, $\lambda\in \mathbb{R}$, $\lambda>0$ следует $\lambda x >0$;

2) для любых двух элементов $x,y$ существует $\sup(x,y)\in X$. В частности, существуют $\sup$ и $\inf$ любого конечного множества.

В отечественной литературе пространство Рисса обычно называется $K$-линеалами. Впервые такие пространства были введены Ф. Риссом (F. Riesz, 1928).

Примером пространства Рисса может служить пространство $C [a, b]$ действительных непрерывных на $C [a, b]$ функций с поточечным упорядочением. Для любого элемента $x$ пространства Рисса определяются $x_+=\sup(x,0)$, $x_-=\sup(-x,0)$ и $|x|=x_++x_-$. При этом оказывается, что $x=x_+-x_-$. В пространстве Рисса вводятся два вида сходимости последовательности $\{x_n\}$.

Порядковая сходимость, $o$-сходимость: $x_n\xrightarrow[]{o}x_0$, если существуют монотонно возрастающая последовательность $\{y_n\}$ и монотонно убывающая последовательность $\{z_n\}$ такие, что $y_n\leqslant x_n\leqslant z_n$ и $\sup y_n=\inf z_n=x_0$.

Относительно равномерная сходимость, $r$-сходимость: $x_n\xrightarrow[]{r}x_0$, если существует элемент $u>0$ такой, что для любого $\varepsilon>0$ существует $n_0$ такое, что $|x_n-x_0|<\varepsilon u$ при $n\geqslant n_0$ ($r$-сходимость называется также сходимостью с регулятором).

Понятия $o$- и $r$-сходимости обладают многими обычными свойствами сходимости числовых последовательностей и естественным образом распространяются на направления $\{x_\alpha\}_{\alpha\in\mathfrak{A}}\subset X$.

Пространство Рисса называется архимедовым, если из $x,y\in X$ и $nx\leqslant y$ для $n=1,2,\dots$ следует $x\leqslant 0$. В архимедовом пространстве Рисса из $\lambda_n\to\lambda_0$ и $x_n\to x_0$ следует $\lambda_n x_n\to\lambda_0 x_0$ $(\lambda_n, \lambda\in\mathbb R$, $x_n,x_0\in X)$ и из $r$-сходимости следует $o$-сходимость.