Пе́рвый интегра́л с суще́ственно осо́быми то́чками, действительная функция нескольких переменных, достаточно гладкая везде, за исключением таких (существенно особых) точек, в которых данная функция не имеет конечного или бесконечного предела.

Первый интеграл (автономный) с существенно особыми точками для рассматриваемой системы $\dot{x}=v(x)$ является (действительной) функцией $F(x_1,\ldots,x_n)$ фазовых переменных, достаточно гладкой (например, класса гладкости $C^1$, т. е. все первые производные функции $F$ непрерывны) везде, за исключением таких (существенно особых) точек, в которых данная функция не имеет конечного или бесконечного предела [в случае если предел бесконечный, функция $F^{-1}(x_1,\ldots,x_n)$ является первым интегралом и должна иметь конечный предел].

Как известно, для комплексно-аналитических функций одного переменного имеется их классификация по отношению к своим изолированным особенностям. Так, если функция имеет устранимый разрыв, то она называется аналитической функцией, если полюс – мероморфной функцией, если существенно особую точку – функцией трансцендентной. В действительном случае имеется ряд особенностей, но устоявшаяся терминология отсутствует.

Пример 1. Рассмотрим простую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\dot{x}=-x,\quad\dot{y}=-y\tag{1}$$на плоскости $\mathbf{R}^2\{x,y\}$. Очевидно, в начале координат она имеет положение равновесия, которое, как известно, называется устойчивым (или притягивающим) дикритическим (т. е. дважды критическим) узлом.

Общее решение данной системы легко выписывается:

$$x(t)=C_1e^{-t},\,y(t)=C_2e^{-t},$$где $C_1,C_2$ – произвольные постоянные.

Таким образом, система (1) имеет два аналитических независимых неавтономных первых интеграла:

$$F_1(t;x)=xe^{t},\quad F_2(t;y)=ye^{t},$$а также один независимый автономный первый интеграл:

$$F(x,y)=\frac{x}{y}$$или $G(x,y)=F^{-1}(x,y)=y/x$.

Вопрос о гладкости первого интеграла $F(x,y)$ или $G(x,y)$ достаточно интересен. На множестве $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,y\ne 0\}$ [$\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,x\ne 0\}$] функция $F(x,y)$ [функция $G(x,y)$] является действительной аналитической функцией двух переменных. При этом на двух открытых лучах $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,y=0,\,x\ne 0\}$ [$\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,x=0,\,y\ne 0\}$] и только на них функция $F(x,y)$ [функция $G(x,y)$] имеет бесконечный предел. И только в начале координат обе функции не имеют конечного или бесконечного предела.

Действительно, например, для функции $F(x,y)$ рассмотрим предел

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}F(x,y)$$по разным направлениям. Пусть последовательность $(x_n',y_n')$ стремится к началу координат по прямой $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,x=C^1y,\,xy\ne 0\}$, а последовательность$(x_n'',y_n'')$ стремится к началу координат по прямой $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,x=C^2y,\,xy\ne 0\}$, здесь $C^1C^2\ne 0$, $C^1\ne C^2$. Тогда

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}F(x_n',y_n')=C^1\ne C^2=\lim_{n\rightarrow+\infty}F(x_n'',y_n''),$$что и говорит нам о несуществовании у функции $F(x,y)$ двух переменных в начале координат конечного или бесконечного предела.

Пример 2. Рассмотрим следующую систему на фазовом цилиндре $\mathbf{R}^1\{\omega\}\times\textbf{S}^1\{\alpha~\textrm{mod}~2\pi\}$:

$$\dot{\alpha}=-\omega+h\sin\alpha, \quad \dot{\omega}=\sin\alpha\cos\alpha,\quad h>0. \tag{2}$$Автономный первый интеграл системы (2) имеет вид

$$\Phi_0(\alpha,\omega)=\sin\alpha\exp\Psi_0(\zeta),\quad\Psi_0(\zeta)=\int\frac{(\zeta-h)d\zeta}{\zeta^2-h\zeta+1},\quad \zeta=\frac{\omega}{\sin\alpha}.$$Притягивающие и отталкивающие предельные множества находятся из недифференциальной системы равенств

$$\sin\alpha=0,\quad \omega=0.$$В точках, задаваемых последними равенствами, функция $\Phi_0(\alpha,\omega)$ как первый интеграл не просто не определена, а имеет особенности в виде существенно особых точек. В остальных точках фазового пространства первый интеграл рассматриваемой системы можно считать гладкой функцией. Там, где предел функции $\Phi_0(\alpha,\omega)$ равен бесконечности, для системы (2) можно использовать первый интеграл $\Phi_1(\alpha,\omega)=\Phi_0^{-1}(\alpha,\omega)$.

В примерах 1, 2 приведены системы, первые интегралы которых имеют существенно особые изолированные точки. Приведём пример системы, в которой первые интегралы обладают существенно особыми точками, заполняющими одномерные кривые.

Пример 3. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости, заданную в полярных координатах $(r,\theta)$, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$:

$$\dot{r}=r(1-r),\quad\dot{\theta}=1, \tag{3}$$при этом её нетрудно переписать и в декартовых координатах $(x,y)$.

Система (3) имеет в начале координат ($r=0$) отталкивающую точку, фазовая кривая на плоскости (целиком лежащая на окружности $r=1$) является устойчивым предельным циклом, и её автономный первый интеграл в полярных координатах имеет следующий вид:

$$\Phi(r,\theta)=\frac{r}{r-1}e^{-\theta},\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad\theta=\textrm{arctg}\,\frac{y}{x}. \tag{4}$$Более того, величина $\theta$ в формуле (4) и далее является функцией многозначной.

Функция (4) не имеет предела по крайней мере в начале координат (т. е. при $x,y\rightarrow 0$). Но и при $r\rightarrow 1$, $\theta\rightarrow+\infty$ величина

$$\frac{1}{r-1}e^{-\theta}$$имеет особенность $0/0$, и нетрудно показать отсутствие предела

$$\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{r(t)-1}e^{-\theta(t)}.$$Ещё для бо́льшей иллюстрации перепишем первый интеграл (4) в декартовых координатах:

$$\Psi(x,y)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}-1}e^{-\textrm{arctg}\frac{y}{x}},$$который является первым интегралом с существенно особыми точками, заполняющими одномерную кривую – окружность $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2:\,x^2+y^2=1\}.$