Пе́рвый интегра́л обыкновенного дифференциального уравнения, отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения

$$y'=f(x,y)\tag{*}$$первый интеграл есть функция $F(x,y)$ из левой части общего решения $F(x,y)=C$, где $C$ – произвольная постоянная. Функция $F(x, y)$ удовлетворяет линейному уравнению

$\dfrac{\partial F(x, y)}{\partial x}+\dfrac{\partial F(x, y)}{\partial y}f(x, y)=0$с частными производными 1-го порядка. Первый интеграл может не существовать во всей области задания уравнения $(*)$, однако в малой окрестности точки, для которой функция $f(x,y)$ непрерывно дифференцируема, он всегда существует. Первый интеграл определяется не единственным образом. Так, для уравнения $y'=-x/y$ первый интеграл является как функция $x^2+y^2$, так, например, и функция $e^{x^2+y}$.

Знание первого интеграла нормальной системы

$ẋ = f(x,t),\quad x∈{\bf R}^n$позволяет понизить порядок этой системы на единицу, а отыскание $n$ функционально независимых первых интегралов равносильно отысканию общего решения в неявном виде. Если $F_1(x,y), \ldots, F_n(x,y)$ – функционально независимые первые интегралы, то всякий другой первый интеграл можно представить в виде

$F(x,t)=Φ(F_1(x,t), \ldots, F_n(x,t)),$где $Φ$– некоторая дифференцируемая функция.