Оснащённое ги́льбертово простра́нство, гильбертово пространство $H$ с выделенным в нём линейным всюду плотным подмножеством $\Phi\subset H$, на котором задана структура топологического векторного пространства так, что вложение непрерывно. Это вложение порождает непрерывное вложение сопряжённых пространств $\Phi^\prime\subset H^\prime$ и цепочку непрерывных вложений $\Phi\subset H\subset\Phi^\prime$ (с помощью стандартного отождествления $H^\prime=H$). Наиболее содержательным является случай, когда оснащение $\Phi$ – ядерное пространство. Здесь верно следующее усиление спектральной теоремы для самосопряжённых операторов, действующих в $H$: любой такой оператор $A$, непрерывно (в топологии $\Phi$) переводящий $\Phi$ в себя, обладает полной системой обобщённых собственных функций $\{F_\alpha, \alpha\in\mathfrak{A}\}$ ($\mathfrak{A}$ – некоторое множество индексов), т. е. таких элементов $F_\alpha\in\Phi^\prime$, что для любого $\varphi\in\Phi$

$$F_\alpha(A\varphi)=\lambda_\alpha F_\alpha(\varphi), \quad \alpha\in\mathfrak{A},$$причём множество значений функции $\alpha\to\lambda_\alpha$, $\alpha\in\mathfrak{A}$, содержится в спектре оператора $A$ и имеет полную меру относительно спектральной меры $\sigma_f(\lambda)$, $f\in H$, $\lambda\in\R$, любого элемента $f\in H$. Полнота системы означает, что $\varphi\ne 0$, $F_\alpha(\varphi)\ne 0$ для любого $\varphi\in\Phi$ хотя бы при одном $\alpha\in\mathfrak{A}$. Кроме того, для любого элемента $\varphi\in\Phi$ существует его разложение по системе обобщённых собственных функций $\{F_\alpha, \alpha\in\mathfrak{A}\}$, обобщающее известное разложение по базису собственных векторов для оператора с дискретным спектром.

Пример: разложение в интеграл Фурье

$$f(x)=\int_{\R} e^{isx\tilde{f}} (s) dx,\ \ \ \ \;x\in\R,\;f\in L_2(\R),\;\tilde{f}\in L_2(\R),$$$\{ e^{isx}, s\in\R\}$ – система обобщённых собственных функций оператора дифференцирования, действующего в $L_2(\R)$, возникающая при естественном оснащении этого пространства с помощью пространства Шварца $S(\R)$. Аналогичные утверждения верны и для унитарных операторов, действующих в оснащённом гильбертовом пространстве.