Нера́венство Фри́дрихса, неравенство вида
$$\tag{1} \int_{\Omega} f^2 d \Omega \leqslant C\left\{\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 d \Omega+\int_{\Gamma} f^2 d \Gamma\right\},$$где $\Omega$ – ограниченная область точек $x=x\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ $n$-мерного евклидова пространства с $(n-1)$-мерной границей $\Gamma$, удовлетворяющей локально условию Липшица, функция $f \equiv f(x) \in W_2^1(\Omega)$ (пространству Соболева).

Правая часть неравенства Фридрихса задаёт эквивалентную норму в $W_2^1(\Omega)$. С помощью другой эквивалентной нормировки $W_2^1(\Omega)$ получена (Соболев. 1962) модификация неравенства Фридрихса вида
$$\tag{2} \int_{\Omega} f^2 d \Omega \leqslant C\left\{\int_{\Omega} \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 d \Omega+\left(\int_{\Gamma} f d \Gamma\right)^2\right\} .$$Имеются обобщения (Никольский. 1964; Никольский. 1977; Калиниченко. 1964) неравенства Фридрихса на весовые классы (см. в статьях Весовое пространство, Теоремы вложения). Пусть $\Gamma \subset C^{(l)}$, числа $r, p, \alpha$ действительные, причём $r$ – натуральное, $1 \leqslant p<\infty$. Говорят, что $f \in W_{p, \alpha}^r(\Omega)$, если конечна норма

$$\|f\|_{W_{p, \alpha}^r(\Omega)}=\|f\|_{L_p(\Omega)}+\|f\|_{\omega_{p, \alpha}^r(\Omega)},$$где

$$\begin{gathered} \|f\|_{L_p(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}|f|^p d \Omega\right)^{1 / p}, \\ \|f\|_{\omega^r_{p, \alpha}(\Omega)}=\sum_{|k|=r}\left\|\rho^\alpha f^{(k)}\right\|_{L_p(\Omega)}, \\ f^{(k)}=\frac{\partial^{|k|}f}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}}, \quad|k|=\sum_{i=1}^n k_i, \end{gathered}$$
$\rho \equiv \rho(x)$ – функция, эквивалентная расстоянию от $x \in \Omega$ до $\Gamma$.

Пусть число $s_0$ – натуральное и

$$r-\alpha-1 / p \leqslant s_0<r-\alpha+1-1 / p .$$Тогда если $\Gamma \subset C^{\left(s_0+1\right)}$, $-1 / p<\alpha<r-1 / p$, $r / 2 \leqslant s_0$, то для $f \in W_{p, \alpha}^r(\Omega)$ справедливо неравенство

$$\|f\|_{L_p (\Omega)}\leqslant С\left\{\sum_{l+s<r / 2}\left\|\left(\left.\frac{\partial^s f}{\partial n^s}\right|_{\Gamma}\right)^{(l)}\right\|_{L_p(\Gamma)}+\|f\|_{\omega_{p, \alpha}^r(\Omega)}\right\},$$где $\left.\frac{\partial^s f}{\partial n^s}\right|_{\Gamma}$ – производная порядка $s$ по внутренней нормали к $\Gamma$ в точках $\Gamma$.

Так же получается и неравенство типа неравенства (2), которое в простейшем случае имеет вид

$$\|f\|_{L_p(\Omega)}^p \leqslant C\left(\|f\|_{\omega_{p, \alpha}^1(\Omega)}^p+\left|\int_{\Gamma} u \tau d \Gamma\right|^p\right),$$где

$$\begin{gathered} p>1,\quad \gamma>1,\quad-1 / p<\alpha<1-1 / p-1 / \gamma,\\ \tau \in L \gamma(\Gamma), \quad \int_{\Gamma} \tau d \Gamma \neq 0. \end{gathered}$$Всюду постоянная $C$ не зависит от $f$.

Неравенство названо по имени К. Фридрихса, который получил его при $n=2$, $f \in C^{(2)}(\bar{\Omega})$ (Friedrichs. 1928).