Ме́тод продолже́ний и охва́тов, метод исследования различных дифференциально-геометрических структур на гладких многообразиях и их подмногообразиях. В основе метода продолжений и охватов лежат дифференциально-алгебраические критерии операций, позволяющих в инвариантной (бескоординатной) форме присоединять к данной структуре внутренне связанные с ней структуры, в том числе и их дифференциальные инварианты. Исторически метод продолжений и охватов возник вслед за методом подвижного репера как инвариантный метод исследования подмногообразий однородных пространств или пространств со связностью. Впоследствии метод продолжений и охватов был распространён на геометрию произвольных расслоенных пространств. В отличие от главной цели метода подвижного репера – построения канонического поля реперов и дифференциальных инвариантов изучаемой структуры путём последовательного сужения соответствующих главных расслоенных пространств, метод продолжений и охватов ставит целью построение инвариантов и инвариантно присоединяемых структур без сужения главных расслоений реперов. В необходимых случаях метод продолжений и охватов включает и процесс канонизации репера.

Пусть $G$ – группа Ли и $K(G)$ – класс всех $G$-пространств с левосторонним действием группы Ли $G$ на них как группы преобразований. $G$-охватом называется такое гладкое сюръективное отображение

$$f: X \rightarrow Y ; \quad X, Y \in K(G),$$что для любого $g \in G$ коммутативна диаграмма

$$\begin{CD} X@>f>>Y\\ @V{l_g}VV @VV{l_g^1}V,\\ X@>>f>Y \end{CD}$$где $l_g$ и $l_g^{1}$ – преобразования $G$-пространств $X$ и $Y$ соответственно, определяемые элементом $g$. В этом случае говорят, что пространство $Y$ с помощью $f$ охвачено пространством $X$ или пространство $X$ является продолжением пространства $Y$. Класс $K(G)$ становится категорией с морфизмами – $G$-охватами.

Примеры $G$-охватов:

1) Пусть $T(p, q) \in K(\mathrm{GL}(n, R))$ – пространство тензоров типа $(p, q)$, $p \geqslant 1$, $q \geqslant 1$. Охватом является отображение свёртки

$$T(p, q) \rightarrow T(p-1, q-1) .$$Полная свёртка тензоров пространства $T(p, p)$

$$T(p, p): T(p, p) \rightarrow R$$является примером охвата инварианта.

2) Если $X, Y \in K(G)$, то $X \times Y$ с помощью $\mathrm{pr}_X$ и $\mathrm{pr}_Y$ охватывает $X$ и $Y$ соответственно. Иными словами, $X \times Y$ является продолжением как $X$, так и $Y$.

Понятие охвата естественным образом распространяется на классы расслоенных пространств, присоединённых к главным расслоениям. Пусть $\pi: P(M, H)\rightarrow M$ – главное расслоенное пространство со структурной группой $H$, действующей на $P$ правым образом, и $F \in K(H)$ – любое левое $H$-пространство. Объектами класса присоединённых к $P$ расслоенных пространств являются пространства типа

$$F(P)=P \times F / H,$$где факторизация подразумевается по следующему правому действию группы $H$ на $P \times F$:

$$(\xi, Y) h=(\xi h, h^{-1} Y); \quad (\xi, Y) \in P \times F, \quad h \in H .$$Пространство $F(P) \in K(P)$ является расслоенным над базой $M$ пространством с типовым слоем $F$. Элемент $y \in F(P)$, определяемый парой $(\xi, Y) \in P \times F$, записывают в виде $y=\xi Y$. Если $F$, $\Phi \in K(H)$ и $f: F \rightarrow \Phi$ – отображение $H$-охвата, то в силу конструкций $F(P)$ и $\Phi(P) f$ индуцирует послойное сюръективное отображение $f: F(P) \rightarrow \Phi(P)$, называемое $P$-охватом. $P$-охват $f$ определяется по закону:

$$\tilde{f}(\xi Y)=\xi f(Y), \quad \xi \in P, \quad Y \in F .$$Таким образом, класс $K(P)$ присоединённых к $P$ расслоенных пространств является категорией с морфизмами типа $P$-охватов $\tilde{f}$. Соответствие $F \mapsto F(P)$, $f \mapsto \tilde{f}$ является биективным функтором категории $K(H)$ на категорию $K(P)$. Следовательно, достаточно изучать операции охвата в категориях $H$-пространства.

Если $s: M \rightarrow F(P)$ – сечение расслоенного пространства $F(P)$ (поле геометрического объекта типа $F$), то $P$-охват $\tilde{f}: F(P) \rightarrow \Phi(P)$ присоединяет к сечению $s$ сечение $\tilde{s}=\tilde{f} \bigcirc s$ охваченного расслоения $\Phi(P)$; иными словами, поле геометрического объекта $s(x)$, $x \in M$, охватывает поле геометрического объекта $\bar{f} \bigcirc s(x)$. Если $s(x)$ – структурный объект некоторой $G$-структуры, то изучение $G$-структуры и её инвариантов сводится во многом к отысканию охватываемых геометрических объектов. В процессе отыскания охватываемых геометрических объектов важную роль играют дифференциальные критерии охватов, формулируемые в терминах структурных дифференциальных форм расслоенных пространств и составляющие основу метода продолжений и охватов.