Дифференциа́льный инвариа́нт, выражение, составленное из одной или нескольких функций, их частных производных по независимым переменным различных порядков, а иногда и дифференциалов этих переменных, инвариантных относительно того или иного преобразования.

Пусть в дифференцируемом многообразии $X_n$, элементом которого является точка $(u^1, u^2 \ldots u^{n})$, задан геометрический объект $\Omega$. Геометрический объект $\omega$ того же многообразия называется дифференциальным инвариантом порядка $r$ относительно объекта $\Omega$, если его координаты $\omega_{A}$, $A=1,2,\ldots N$ являются функциями координат $\omega_\alpha$, $\alpha=1,2,\ldots M$ объекта $\Omega$ и их частных производных по координатам $u^{i}$, $i=1,2,\ldots n$, до порядка $r$:

$$\omega_{A}=f_{A}(\Omega_\alpha ,\partial_{i}\Omega_\alpha,\ldots,\partial _{i_{1}i_2\ldots i_{r}}^{r} \Omega_\alpha)$$и обладают следующим свойством инвариантности относительно некоторого преобразования координат. Именно: при замене координат

$$u^{i}=u^{i}(u^{1^\prime }, u^{2^\prime },\ldots, u^{n^\prime })$$новые координаты $\omega _{A}^\prime$ объекта $\omega$ выражаются через новые координаты $\Omega _{A}^\prime$ объекта $\Omega$ и их частные производные по новым координатам – теми же самыми функциями $f_A$:

$$\omega _{A}^\prime =f_{A}(\Omega _{A}^\prime ,\partial _{i}\Omega _\alpha \ldots \partial _{i_{1}^\prime \ldots i_{n}^\prime } ^{r}\Omega _\alpha ).$$Пусть, например, $\Omega$ – объект линейной аффинной связности (без кручения). Объект $\omega$ (тензор кривизны):

$$R_{ijk}^{l}=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{l} -\partial _{j}\Gamma _{ik}^{l}+\Gamma _{is}^{l}\Gamma _{jk}^{s}-\Gamma _{js}^{l}\Gamma _{ik}^{s}$$есть тензорный дифференциальный инвариант порядка $1$ относительно символов Кристоффеля $\Gamma _{ij}^{k}$.

Пусть в $X_n$ задана группа (псевдогруппа) $G$ точечных преобразований

$$\tag{1}u^{i}=f^{i}(\bar u^{1}, \bar u^{2},\ldots, \bar u^n)$$и $M_h$ – подмногообразие $X_n$ размерности $h$:

$$\tag{2} u^{i}=\varphi ^{i}(t^{1},t^{2},\ldots, t^{n}),$$параметры которого подвергаются преобразованиям бесконечной группы

$$t^\alpha =\psi ^\alpha (\bar t^{1^*},\bar t^{2^*},\ldots\bar t^{n^*}).$$Геометрическим дифференциальным инвариантом порядка $r$ многообразия $M_h$ относительно группы (псевдогруппы) $G$ называют функцию координат $u^i$ точки $M_h$ и их частных производных до порядка $r$ по параметрам $t^\alpha$:

$$\tag{3} F\left (u^{i}, \frac{\partial u^{i}}{\partial t^\alpha}, \ldots, \frac{\partial^{r}u^{i}}{\partial t^{\alpha _{1}}\ldots \partial t^{\alpha_{r}}} \right ),$$обладающую свойством инвариантности относительно преобразований (1) и (2). Именно: если в (3) заменить $u^i$ по формулам (1), а частные производные от $u^i$ по $t^\alpha$ – их выражениями через частные производные от $\overline u^i$ по ${\overline t^\alpha}^*$, то получается та же функция $F$ от $\overline u^i$ и их производных по ${\overline t^\alpha}^*$:

$$F\left (u^{i}, \frac{\partial\overline u^i}{\partial{\overline t^\alpha}^*}, \ldots, \frac{\partial^r\overline u^i} {\partial{\overline t^{\alpha_1}}^*\ldots{\overline t^{\alpha_r}}^*} \right ).$$Если координаты $u^i$ однородны, то функция $F$ должна быть также инвариантна относительно преобразований

$$u^{*\,i}=\lambda (t^{1}\ldots t^{n})u^{i},\ \ \lambda \neq 0.$$В определении геометрического дифференциального инварианта функцию $F$ можно заменить геометрическим объектом. Если этот объект – ковариантный (контравариантный) вектор, то его называют ковариантом (контравариантом).

Если инвариантно обращение в нуль некоторого объекта, то его называют относительным дифференциальным инвариантом.