Ме́тод потенциа́лов, метод исследования краевых задач для уравнений математической физики путём сведения их к интегральным уравнениям, основанный на представлении решений этих задач в виде (обобщённых) потенциалов.

Пусть в пространстве $\R^n$, $n\leqslant 2$, задано дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка эллиптического типа

$$Lu\equiv\sum_{i,j=1}^n\left(a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}\right)+\sum_{i=1}^n e_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=f(x) \tag{1}$$с достаточно гладкими коэффициентами $a_{ij}=a_{ji}=a_{ij}(x)$, $e_i=e_i(x)$, $c(x)\leqslant0$ и правой частью $f(x)$, причём $c(x)<-k^2<0$ вне некоторой ограниченной области, содержащей внутри область $D$ класса $C^1$. Тогда любое решение $u(x)$ уравнения (1) класса $C^2(D\cup S)$ можно представить в виде суммы трёх (обобщённых) потенциалов: потенциала объёмных масс

$$\int_D E(x,y) \, \rho(y) \, dy, \tag{2}$$потенциала простого слоя

$$\int_S E(x,y)\,\sigma(y)\,ds_y \tag{3}$$и потенциала двойного слоя

$$\int_SQ_y[E(x,y)]\,\mu(y)\,ds_y, \tag{4}$$где $S=\partial D$ – граница области $D$, $E(x, y)$ – главное фундаментальное решение оператора $L$, символ $Q_y$ обозначает оператор

$$Q_y v=a\frac{\partial v}{\partial N}-bv,$$действующий в точке $y\in S$, $N$ – единичный вектор конормали в точке $y\in S$,

$$a^2=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^na_{ij}\cos(\nu,y_j)\right)^2,$$$$b=\sum_{i=1}^n e_i\cos(\nu,y_i),$$$\nu$ – единичный вектор внешней нормали к $S$ в точке $y\in S$. Плотности потенциалов $\rho(y)$, $\sigma(y)$ и $\mu(y)$ – достаточно гладкие функции на $D$ или $S$.

Для потенциалов (2)–(4) остаются в силе, с соответствующими изменениями, все дифференциальные и граничные свойства гармонических потенциалов, описанные в статье Теория потенциала для случая, когда $L$ – оператор Лапласа. На основании этих свойств удаётся свести краевые задачи для эллиптических уравнений типа (1) к интегральным уравнениям, аналогично тому, как это было описано для задач Дирихле и Неймана для гармонических функций в статье «Теория потенциала».